第03讲 圆的方程（八大题型）（讲义）（解析版）

第03讲圆的方程目录考点要求考题统计考情分析（1）理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．（2）能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．2023年乙卷（文）第11题，5分2023年上海卷第7题，5分2022年甲卷（文）第14题，5分2022年乙卷（文）第15题，5分高考对圆的方程的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程．知识点一：基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．知识点二：基本性质、定理与公式1、圆的四种方程（1）圆的标准方程：222()()xaybr，圆心坐标为（a，b），半径为(0)rr（2）圆的一般方程：22220(40)xyDxEyFDEF，圆心坐标为,22DE，半径2242DEFr（3）圆的直径式方程：若1122(,),(,)AxyBxy，则以线段AB为直径的圆的方程是1212()()()()0xxxxyyyy（4）圆的参数方程：①222(0)xyrr的参数方程为cossinxryr（为参数）；②222()()(0)xaybrr的参数方程为cossinxarybr（为参数）．注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(cos,sin)arbr（为参数，,（）ab为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．2、点与圆的位置关系判断（1）点00(,)Pxy与圆222()()xaybr的位置关系：①222()()xaybr点P在圆外；②222()()xaybr点P在圆上；③222()()xaybr点P在圆内．（2）点00(,)Pxy与圆220xyDxEyF的位置关系：①2200000xyDxEyF点P在圆外；②2200000xyDxEyF点P在圆上；③2200000xyDxEyF点P在圆内．题型一：求圆多种方程的形式例1．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）过0,1A、0,3B两点，且与直线1yx相切的圆的方程可以是（）A．22122xyB．22225xyC．22122xyD．22225xy【答案】C【解析】因为0,1A、0,3B，则线段AB的垂直平分线所在直线的方程为2y，设圆心为,2Ct，则圆C的半径为21322ttr，又因为222211rACtt，所以，2312tt，整理可得2670tt，解得1t或7t，当1t时，2rAC，此时圆的方程为22122xy；当7t时，52rAC，此时圆的方程为227250xy.综上所述，满足条件的圆的方程为22122xy或227250xy.故选：C.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为(21)，，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A．22420xyxyB．224250xyxyC．224250xyxyD．22420xyxy【答案】A【解析】设直径的两个端点分别,0,0,AaBb，圆心C为点(2,1),由中点坐标公式，得002,122ab，解得4,2.ab∴半径2224105r，∴圆的方程是22(2)(1)5,xy即22420.xyxy故选：A.例3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆心为(2,3)的圆与直线10xy相切，则该圆的标准方程是（）A．22(2)(3)8xyB．22(2)(3)8xyC．22(2)(3)18xyD．22(2)3)1(8xy【答案】A【解析】因为圆心为(2,3)的圆与直线10xy相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|231|222rd，所以该圆的标准方程是22(2)(3)8xy．故选：A变式1．（2023·河北邢台·高三统考期末）已知圆22:25Cxy与直线:3400lxymm相切，则圆C关于直线l对称的圆的方程为（）A．22(3)(4)16xyB．22(3)(4)25xyC．22(6)(8)16xyD．22(6)(8)25xy【答案】D【解析】由圆22:25Cxy的圆心为原点O，半径为5，又圆C与直线l相切，则O到直线l的距离为5d，则5916md，解得25m，设过O且与l垂直的直线为0l，则0l：430xy，联立4303342504xyxxyy，得直线l与0l的交点为3,4，设圆心(0,0)O关于点3,4的对称点为,pn，由中点公式有03620842ppnn所以圆心(0,0)O关于点3,4的对称点为6,8，因此圆C关于直线l对称的圆的方程为：22(6)(8)25xy，故选：D.变式2．（2023·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为11,AB两点，以线段11AB为直径的圆C过点(2,3)，则圆C的方程为（）A．22(1)(2)2xyB．22(1)(1)5xyC．22(1)(1)17xyD．22(1)(2)26xy【答案】B【解析】抛物线24yx的焦点(1,0)F，准线11AB：=1x，设1122(,),(,)AxyBxy，令弦AB的中点为E，而圆心C是线段11AB的中点，又111111,AAABBBAB，即有11////ECAABB，11ECAB，显然直线AB不垂直于y轴，设直线:1ABxty，由214xtyyx消去x得：2440yty，则12124,4yytyy，22121212||()441yyyyyyt，点E的纵坐标为1222yyt，于是得圆C的半径2111211||||2122rAByyt，圆心(1,2)Ct，而圆C过点(2,3)M，则有||MCr，即222(12)(23)21tt，解得12t，因此圆C的圆心(1,1)C，半径5r，圆C的方程为22(1)(1)5xy.故选：B变式3．（2023·全国·高三专题练习）求过两点0,4,4,6AB，且圆心在直线220xy上的圆的标准方程是（）A．22(1(4)25)yxB．22(4)(1)25xyC．22(4)(1)25xyD．22(4)(1)25xy【答案】D【解析】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，即222222042246bbbb，解得1b，可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为22(4)(1)25xy．故选：D．变式4．（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知直线(32)(32)50xy＋恒过定点P，则与圆C：22(2)(3)16xy有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（）A．22(2)3)3(6xyB．22(2)(3)25xyC．22(2)3)1(8xyD．22(2)(3)9xy【答案】B【解析】直线(32)(32)50xy＋，即(231)(325)0xyxy，由23103250xyxy解得11xy，即(1,1)P，圆C：22(2)(3)16xy的圆心(2,3)C，||5PC，所以所求圆的标准方程为22(2)(3)25xy.故选：B变式5．（2023·全国·高三专题练习）圆C：22122xy关于直线0xy对称的圆的方程是（）A．22(1)(2)2xyB．22(1)(2)2xyC．22(2)(1)2xyD．22(2)(1)2xy【答案】C【解析】由圆C：22122xy，可知圆心坐标：(1,2)，半径为2，因为点(1,2)关于直线yx的对称点为(2,1)，所以圆C：22122xy关于直线0xy对称的圆的方程是22(2)(1)2xy，故选：C变式6．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点,AB是MON的OM边上的两个定点，C是ON边上的一个动点，当且仅当ABC的外接圆与边ON相切于点C时，ACB最大．在平面直角坐标系中，已知点2,0D，4,0E，点F是y轴负半轴的一个动点，当DFE最大时，DEF的外接圆的方程是（）．A．223229xyB．223229xyC．222238xyD．222238xy【答案】A【解析】由米勒定理知当DFE最大时，DEF的外接圆与y轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，因为点2,0D，4,0E，所以圆心在直线3x上，又圆与y轴负半轴相切，所以圆的半径为3，设圆心为(3,)Pb，0b，则2||13PDb，解得22b，又0b，所以22b，所以DEF的外接圆的方程是22(3)(22)9xy，故选：A．变式7．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）过点4,2P作圆224xy的两条切线，切点分别为A，B，则PAB的外接圆方程是（）A．22215xyB．224220xyC．22215xyD．224220xy【答案】A【解析】由圆224xy，得到圆心0,0O，由题意知O、A、B、P四点共圆，PAB的外接圆即四边形OAPB的外接圆，又4,2P，从而OP的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，1||52OP为所求圆的半径，所以所求圆的方程为22(2)(1)5xy.故选：A变式8．（2023·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知(3,0),(3,0),(0,3)ABC，则ABC外接圆的方程为（）A．22(1)2xyB．22(1)4xyC．22(1)2xyD．22(1)4xy【答案】D【解析】设ABC外接圆的方程为222()xaybr则有222222222(3)0(3)0(0)3abrabrabr，解之得012abr则ABC外接圆的方程为22(1)4xy故选：D【解题方法总结】（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．题型二：直线系方程和圆系方程例4．（2023·全国·高三专题练习）圆心在直线x-y-4＝0上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为（）A．x2+y2-x+7y-3