第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（九大题型）（讲义）（解析版）

第04讲直线与圆、圆与圆的位置关系目录考点要求考题统计考情分析（1）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．2023年乙卷（理）第12题，5分2023年I卷第6题，5分2023年II卷第15题，5分2022年I卷第14题，5分高考对直线与圆、圆与圆的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，但命题形式上比较灵活，备考时应熟练掌握相关题型与方法，除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断外，还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．一．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交二．直线与圆的位置关系判断（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心(,)ab到直线0AxByC的距离，则22||AaBbCdAB：dr直线与圆相交，交于两点,PQ，22||2PQrd；dr直线与圆相切；dr直线与圆相离（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由2220()()AxByCxaybr，消元得到一元二次方程20pxqxt，20pxqxt判别式为，则：0直线与圆相交；0直线与圆相切；0直线与圆相离．三．两圆位置关系的判断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,OO的半径分别是,Rr，（不妨设Rr），且两圆的圆心距为d，则：dRr两圆相交；dRr两圆外切；RrdRr两圆相离dRr两圆内切；0dRr两圆内含（0d时两圆为同心圆）设两个圆的半径分别为Rr，，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210【解题方法总结】关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆222xyr上一点00(,)Pxy的圆的切线方程为200xxyyr．（2）过圆222()()xaybr上一点00(,)Pxy的圆的切线方程为200()()()()xaxaybybr（3）过圆220xyDxEyF上一点00(,)Pxy的圆的切线方程为0000022xxyyxxyyDEF（4）求过圆222xyr外一点00(,)Pxy的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为00()yykxx，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k的方程，求出k值．若求出的k值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．题型一：直线与圆的位置关系的判断例1．（2023·四川成都·成都七中校考一模）圆C：22(1)(1)1xy与直线l：143xy的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定【答案】A【解析】圆C：22(1)(1)1xy的圆心为1,1C，半径1r，直线l：143xy即34120xy，则圆心到直线的距离223412134dr，所以直线l与圆C相切.故选：A例2．（2023·全国·高三对口高考）若直线1axby与圆221xy相交，则点,Pab（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能【答案】B【解析】直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即：2211ab，即221ab，据此可得：点,Pab与圆C的位置关系是点在圆外.故选：B.例3．（2023·全国·高三专题练习）已知点00,Pxy为圆22:2Cxy上的动点，则直线00:2lxxyy与圆C的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．相切或相交【答案】C【解析】利用圆心距d和半径2r的关系来确定直线与圆的位置关系.由题意可得22002xy，于是22002222drxy，所以直线和圆相切.故选:C.变式1．（2023·全国·高三专题练习）直线:10lxmym与圆22:129Cxy的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【答案】A【解析】已知直线:10lxmym过定点1,1，将点1,1代入圆的方程可得2211129，可知点1,1在圆内，所以直线:10lxmym与圆22:129Cxy相交.故选：A.变式2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）直线l：cossin1xyR与曲线C：221xy的交点个数为（）A．0B．1C．2D．无法确定【答案】B【解析】曲线C：221xy是圆心在0,0上，半径1r的圆，则圆心与直线l的距离220011cossind，dr，曲线C与直线l相切，即只有一个交点，故选：B变式3．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）直线140Rkxykk与圆22(1)(2)25xy的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定【答案】C【解析】由直线140kxyk得410kxy，令40,10xy，得4,1xy，故直线140Rkxykk恒过点4,1，又22(41)(12)1825，即点4,1在圆22(1)(2)25xy内，故直线140Rkxykk与圆22(1)(2)25xy的位置关系为相交.故选：C.【解题方法总结】判断直线与圆的位置关系的常见方法（1）几何法：利用d与r的关系．（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．题型二：弦长与面积问题例4．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知直线l：350xy与圆C：222660xyxy交于A，B两点，则AB．【答案】6【解析】由22:(1)(3)4Cxy，故圆心1,3C，半径为2r，所以，圆心到直线l的距离为22551021031Cld，∴2226ABrd．故答案为：6例5．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知圆22:650Cxyx，直线113yx与圆C相交于M，N两点，则MN．【答案】4155/4155【解析】由22650xyx，得2234xy，则圆的圆心为(3,0)，半径2r，所以圆心(3,0)到直线310xy的距离为2230141013d所以221164210MNrd，解得4155MN．故答案为：4155例6．（2023·全国·高三专题练习）已知直线:10lxmy与22:14Cxy交于A，B两点，写出满足“ABC面积为85”的m的一个值．【答案】2（112,2,,22中任意一个皆可以）【解析】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得224ABd，所以2182425ABCSdd△，解得：455d或255d，由2211211dmm，所以224551m或222551m，解得：2m或12m．故答案为：2（112,2,,22中任意一个皆可以）．变式4．（2023·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）圆心在直线2yx上，与x轴相切，且被直线0xy截得的弦长为14的圆的方程为.【答案】22124xy或22124xy【解析】设所求圆的圆心为,2aa，半径为r，圆与x轴相切，2ra，又圆心到直线0xy的距离2222aada，22221224142rdaa，解得：1a或1a，所求圆的圆心为1,2或1,2，半径2r，圆的方程为22124xy或22124xy.故答案为：22124xy或22124xy.变式5．（2023·广东广州·统考三模）写出经过点(1,0)且被圆222210xyxy截得的弦长为2的一条直线的方程．【答案】1yx或1yx【解析】圆的方程可化为22111xy，圆心为(1,1)，半径1r．当过点(1,0)的直线的斜率不存在时，直线方程为1x，此时圆心在直线上，弦长22r，不满足题意，所以过点(1,0)的直线的斜率存在，设过点(1,0)的直线的方程为(1)ykx，即kxyk0，则圆心(1,1)到直线kxyk0的距为22|1|111kkdkk，依题意2222212221211krdkk，即21k，解得1k或1k，故所求直线的方程为1yx或1yx．故答案为：1yx或1yx．变式6．（2023·广东深圳·校考二模）过点(1,1)且被圆224440xyxy所截得的弦长为22的直线的方程为.【答案】20xy【解析】圆224440xyxy，即22224xy，圆心为2,2，半径2r，若弦长22l，则圆心到直线的距离2222ldr，显然直线的斜率存在，设直线方程为11ykx，即10kxyk，所以2222121kkdk，解得1k，所以直线方程为20xy.故答案为：20xy变式7．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）已知直线l：220kxyk被圆C：22(1)16xy所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有条.【答案】9【解析】将直线l的方程整理可得220kxy，易知直线恒过定点2,2；圆心0,1C，半径4R；所以当直线过圆心时弦长取最大值，此时弦长为直径28R；易知，当圆心0,1C与2,2的连线与直线l垂直时，弦长最小，如下图所示；此时弦长为22322323R，所以截得的弦长为整数可取4,5,6,7,8；由对称性可知，当弦长为4,5,6,7时，各对应两条，共8条，当弦长为8时，只有直径1条，所以满足条件的直线l共有9条.故答案为：9变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知A，B分别为圆2211xy与圆2224xy上的点，O为坐标原点，则OAB面积的最大值为.【答案】332/332【解析】设M：22(1)1xy，则1,0M半径为1；圆N：22(2)4xy，则2,0N，半径为2.以ON为直径画圆，延长BO交圆于F，连接FE，NE，NF，如图:则NFOB，又NBNO，所以F为BO的中点，由对称性可得OEOA，1sin2ABOSOAOBAOB，及1sin2EBOSOEOBAOB，所以2ABOEBOEFOSSS，故当EFOS最大时，ABOS最大，故转化为在半径为1的内接三角形OEF的面积的最大值问题，对于一个单位圆内接三角形ABC的面积，1sin2ABCSabC，又2sinaA，2sinbB，所以3sinsinsin2sinsinsin2()3ABCABCSABC，当且仅当sinsinsinABC时，即三角形ABC为等边三角形时等号成立，此时π3sinsinsinsin32ABC，所以3sinsinsin33332()2384ABCABCS，即三角形OEF的面积的最大值为334，所以ABOS最大值为3333242.故答案为：332变式9．（2023·广东广州·