第05讲 椭圆及其性质（八大题型）（讲义）（解析版）

第05讲椭圆及其性质目录考点要求考题统计考情分析（1）理解椭圆的定义、几何图形、标准方程．（2）掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．（3）掌握椭圆的简单应用．2023年I卷II卷第5题，5分2023年北京卷第19题，15分2023年甲卷（理）第12题，5分2022年甲卷（理）第10题，5分椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．知识点一：椭圆的定义平面内与两个定点12,FF的距离之和等于常数2a（122||aFF）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表示为：1212|||||2(2||20)PPFPFaaFFc注意：当22ac时，点的轨迹是线段；当22ac时，点的轨迹不存在．知识点二：椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示．焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210xyabab222210yxabab统一方程221(m0,n0,)mxnymn参数方程cos,[0,2]sinxayb为参数（）cos,[0,2]sinxayb为参数（）第一定义到两定点21FF、的距离之和等于常数2a，即21||||2MFMFa（212||aFF）范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10,b、20,b10,a、20,a1,0b、2,0b轴长长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距122FFc222()cab离心率22222221(01)ccabbeeaaaa准线方程2axc点和椭圆的关系2200002211(,)1xyxyab外点在椭圆上内2200002211(,)1yxxyab外点在椭圆上内切线方程00221xxyyab（00(,)xy为切点）00221yyxxab（00(,)xy为切点）对于过椭圆上一点00(,)xy的切线方程，只需将椭圆方程中2x换为0xx，2y换为0yy可得切点弦所在的直线方程0000221((,)xxyyxyab点在椭圆外）0000221((,)yyxxxyab点在椭圆外）焦点三角形面积①2max12122cos1,bFBFrr，（B为短轴的端点）②1202012|s|,1tan2|in2|,PFFcyxSxrbrcy焦点在轴上焦点在轴上12()FPF③212212min=max=PrrbPrra当点在长轴端点时,（）当点在短轴端点时,（）焦点三角形中一般要用到的关系是1212122221212221211|)|||222si|1||||2|||||2||||csnoPFFSPFPFFPFFFPMFMFcFPFFaaPPFFPF（）焦半径左焦半径：10MFaex又焦半径：10MFaex上焦半径：10MFaey下焦半径：10MFaey焦半径最大值ac，最小值ac通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=22ba（最短的过焦点的弦）弦长公式设直线与椭圆的两个交点为11(,)Axy，22(,)Bxy，ABkk，则弦长22212121211()4ABkxxkxxxx21212211()4yyyyk21||ka（其中a是消y后关于x的一元二次方程的2x的系数，是判别式）【解题方法总结】（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为22ba．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为ac，距离的最小值为ac．（2）椭圆的切线①椭圆22221(0)xyabab上一点00()Pxy，处的切线方程是00221xxyyab；②过椭圆22221(0)xyabab外一点00()Pxy，，所引两条切线的切点弦方程是00221xxyyab；③椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc．题型一：椭圆的定义与标准方程例1．（2023·高二课时练习）已知椭圆C上任意一点,Pxy都满足关系式2222114xyxy，则椭圆C的标准方程为.【答案】22143xy【解析】由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为1,0,1,0，24a，故2,1ac，23b，所以椭圆C的标准方程为22143xy.故答案为：22143xy.例2．（2023·山东青岛·统考三模）已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线214yx的焦点重合，则椭圆C的标准方程为．【答案】22143yx【解析】抛物线方程化为标准方程得24xy，焦点坐标为0,1F，∵抛物线焦点与椭圆C的一个焦点重合，∴椭圆焦点在y轴，设椭圆方程为22221yxab，（0ab），则由焦点坐标和长轴长知1c，24a，∴2a，∴2223bac，∴椭圆C的标准方程为22143yx.故答案为：22143yx.例3．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点为12(1,0),(1,0)FF，且过点31,,2P则椭圆标准方程为．【答案】22143xy【解析】由题知：1c，①又椭圆经过点31,2P，所以229141ab，②又222acb，③联立解得：224,3ab，故椭圆的标准方程为：22143xy.故答案为：22143xy.变式1．（2023·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）已知椭圆E：22221xyab（0ab），F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为3，ABF△的面积为313，则E的标准方程为.【答案】22111416xy【解析】设O为坐标原点，直线AB交x轴于点C，如图所示：由题意知：ABAF，直线AB的斜率为3，即3ABk，所以60ACF，30AFC.由椭圆的性质知：OAb，OFc，则AFa，所以2aOA，32aOF，则0,2aA，故直线AB的方程为32ayx.联立22221322xyabayxab，解得：02xay或43131126axay，所以4311,1326aaB，故2243118301322613aaBaAa，则11833221313ABFaSAFABa△，解得：214a.又0a，所以12a，即124ab，则E的标准方程为22111416xy.故答案为：22111416xy.变式2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆焦点在x轴，它与椭圆22143xy有相同离心率且经过点2,3，则椭圆标准方程为.【答案】22186xy=【解析】椭圆22143xy的离心率为2222311142cabbeaaa，设所求椭圆方程为222210xymnmn，则2114nm，从而234nm，32nm，又22431mn，∴2268,mn，∴所求椭圆的标准方程为22186xy=.故答案为：22186xy=.变式3．（2023·北京·高二北大附中校考期末）与双曲线224312yx有相同焦点，且长轴长为6的椭圆标准方程为.【答案】22129xy【解析】224312yx即22134yx，焦点为0,7，椭圆长轴26a，即3a，故短半轴22372b，故椭圆方程为22129xy.故答案为：22129xy.变式4．（2023·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末）已知椭圆E：222210xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且22PFFQ，且2212PFQSa，228PFFQ，则E的标准方程为.【答案】221168xy【解析】连接11,PFQF，因为12,OPOQOFOF，所以四边形12PFQF是平行四边形，所以12PFFQ，21PFQF，又22PFFQ，所以四边形12PFQF为矩形，设12,PFmPFn则由题意得22222841122mnamncmna，解得422ac，则2228bac，则标准方程为221168xy，故答案为：221168xy.变式5．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）过点5,3，且与椭圆221259xy有相同的焦点的椭圆标准方程是．【答案】221204xy【解析】由题意设椭圆的方程为221259xy，09，将点5,3代入，531259，整理可得：2261050，解得5或21（舍)，所以椭圆的方程为：221204xy，故答案为：221204xy．变式6．（2023·浙江丽水·高三校考期中）我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”.若椭圆22:11612xyE，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方程为.【答案】22143xy【解析】∵椭圆E的离心率为16121162e，且设椭圆F的标准方程为222210xyabab，则=1612=2a，∴椭圆F的2221,3cbac，即椭圆F的标准方程为22143xy.故答案为：22143xy.变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：22221xyab(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点（异于M、N），1AFB△的周长为43，且直线AM与AN的斜率之积为23，则椭圆C的标准方程为.【答案】22132xy【解析】由1AFB△的周长为43,可知1212443AFAFBFBFa,解得3a,由直线AM与AN的斜率之积为23,可得222223bba，所以椭圆C的标准方程为22132xy，故答案为：22132xy变式8．（2023·高二课时练习）已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过(32)A，和(231)B，两点，则椭圆C的标准方程为.【答案】221155xy【解析】设所求椭圆方程为：221mxny(0m，0n，mn)将A和B的坐标代入方程得：341121mnmn，解得11515mn，所求椭圆的标准方程为：221155xy.故答案为：221155xy.【解题方法总结】（1）定义法：根据椭圆定义，确定22,ab的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出,,abc的方程组，解出22,ab，从而求得标准方程.注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为221(0,0,)AxByABAB.②与椭圆221xymn共焦点的椭圆可设为221(,,)xykmknmnmknk