第06讲 双曲线及其性质（十大题型）（讲义）（解析版）

第06讲双曲线及其性质目录考点要求考题统计考情分析（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．（2）掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．（3）了解双曲线的简单应用．2023年甲卷（文）第8题，5分2023年天津卷第9题，5分2023年北京卷第12题，5分2023年I卷第16题，5分双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，在高考中双曲线的试题以选填题为主，解答题考查双曲线的可能性不大．在双曲线的试题中，离不开渐近线的考查，几乎所有双曲线试题均涉及渐近线，因此双曲线的试题中，最为重要的是三点：方程、渐近线、离心率．知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点12,FF的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于12FF）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为12122(02)MMFMFaaFF．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当122aFF时，点的轨迹是以1F和2F为端点的两条射线；当20a时，点的轨迹是线段12FF的垂直平分线．（3）122aFF时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“122FFa”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a，2b的值），注意222abc的应用．知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质标准方程22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab图形焦点坐标1(,0)Fc，2(,0)Fc1(0,)Fc，2(0,)Fc对称性关于x，y轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标1(,0)Aa，2(,0)Aa1(0,)Aa，2(0,)Aa范围xaya实轴、虚轴实轴长为2a，虚轴长为2b离心率221(1)cbeeaa渐近线方程令22220xybyxaba，焦点到渐近线的距离为b令22220yxayxabb，焦点到渐近线的距离为b点和双曲线的位置关系00222200001,(,)1,(,)1,(,)xyxyxyabxy点在双曲线内（含焦点部分）点在双曲线上点在双曲线外00222200001,(,)1,(,)1,(,)xyyxxyabxy点在双曲线内（含焦点部分）点在双曲线上点在双曲线外A2共焦点的双曲线方程2222221()xyakbakbk2222221()yxakbakbk共渐近线的双曲线方程2222(0)xyab2222(0)yxab切线方程0000221,(,)xxyyxyab为切点0000221,(,)yyxxxyab为切点切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中2x换为0xx，2y换成0yy便得．切点弦所在直线方程0000221,(,)xxyyxyab为双曲线外一点0000221,(,)yyxxxyab为双曲线外一点点00(,)xy为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为11(,)Axy，22(,)Bxy，ABkk．则弦长212122111(0)ABkxxyykk，21212124xxxxxxa，其中“a”是消“y”后关于“x”的一元二次方程的“2x”系数．通径通径（过焦点且垂直于12FF的弦）是同支中的最短弦，其长为22ba焦点三角形双曲线上一点00(,)Pxy与两焦点12,FF构成的12PFF成为焦点三角形，设12FPF，11PFr，22PFr，则2122cos1brr，12202120,1sinsin,21costan2PFFcyxbSrrbcxy焦点在轴上焦点在轴上，焦点三角形中一般要用到的关系是12121212222121212122(22)1sin22cosPFFPFPFaacSPFPFFPFFFPFPFPFPFFPF等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线ab离心率2e两渐近线互相垂直渐近线方程为yx方程可设为22(0)xy．【解题方法总结】（1）双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22ba．（2）点与双曲线的位置关系对于双曲线22221(0)xyabab，点00()Pxy，在双曲线内部，等价于2200221xyab．点00()Pxy，在双曲线外部，等价于2200221xyab结合线性规划的知识点来分析．（3）双曲线常考性质性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b；顶点到两条渐近线的距离为常数abc；性质2：双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222abc；（4）双曲线焦点三角形面积为2tan2b（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）（5）双曲线的切线点00()Mxy，在双曲线22221xyab(00)ab，上，过点M作双曲线的切线方程为00221xxyyab．若点00()Mxy，在双曲线22221xyab(00)ab，外，则点M对应切点弦方程为00221xxyyab题型一：双曲线的定义与标准方程例1．（2023·全国·模拟预测）已知1F，2F分别是离心率为2的双曲线2222:10,0xyEabab的左，右焦点，过点2F的直线与双曲线的左､右两支分别交于点C，D，且1CFCD，14DF，则E的标准方程为.【答案】2213yx【解析】由题意知2ca，∴22ca，由双曲线的定义知21222aCFCFCFCDDF，122DFDFa，则12244DFaDFa，∴1a，2c，∴23b，∴E的标准方程为2213yx.故答案为：2213yx.例2．（2023·山东临沂·高二校考期末）已知双曲线E：22221xyab（0a，0b），矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且236ABBC，则双曲线E的标准方程是．【答案】2211344xy【解析】由题意得3AB，2BC．如图所示，设AB，CD的中点分别为M，N，在RtBMN△中，=22MNc，故222235=+=+2=22BNBMMN．由双曲线的定义可得532122aBNBM，则214a，又22c，所以1c，234b．所以双曲线E的标准方程是2211344xy．故答案为：2211344xy.例3．（2023·高二课时练习）设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为．【答案】221169xy【解析】根据题意可知椭圆方程中的a=13，∵ca=513∴c=5根据双曲线的定义可知曲线C2为双曲线，其中半焦距为5，实轴长为8∴虚轴长为6∴双曲线方程为221169xy变式1．（2023·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）渐近线方程为12yx且经过点4,1的双曲线标准方程为．【答案】221123yx【解析】设渐近线方程为12yx且经过点4,1的双曲线的方程为2204xy，将点4,1的坐标代入双曲线的方程可得224134，所以，所求双曲线的方程为2234xy，其标准方程为221123yx.故答案为：221123yx.变式2．（2023·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）若双曲线C与双曲线2211612xy有相同的渐近线，且经过点22,15，则双曲线C的标准方程是．【答案】221912yx【解析】由双曲线C与双曲线2211612xy有相同的渐近线，可设双曲线C的方程为221612xy，又C过点22,15，所以34，22316124xy，整理得双曲线C的标准方程是221912yx．故答案为：221912yx变式3．（2023·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）双曲线经过两点2,3A，15,23B，则双曲线的标准方程是．【答案】2213yx【解析】设双曲线的方程为221,0mxnymn，由题意可得：2315213mnmn，解得113mn，所以双曲线的标准方程是2213yx.故答案为：2213yx.变式4．（2023·全国·模拟预测）已知1F，2F分别是双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点，M是双曲线C的右支上一点，双曲线C的焦点到渐近线的距离为3，1FM与2MF的夹角为π3，121233MFMFMFMF，则双曲线C的标准方程为.【答案】22149xy【解析】∵双曲线2222:10,0xyCabab的一条渐近线为byxa，即0bxay，故焦点2(,0)Fc到渐近线byxa的距离22bcbcbcab，∴3b.∵向量1FM与2MF的夹角为π3，∴122π3FMF.∵121233MFMFMFMF，∴221212123390MFMFMFMFMFMF，∴123MFMF，由双曲线的定义知，12222aMFMFMF，∴2MFa，13MFa.在12MFF△中，由余弦定理知22221212121242coscFFMFMFMFMFFMF2222π923cos133aaaaa，又3b，∴22222213444443acaba，∴24a，∴该双曲线的标准方程为22149xy.故答案为：22149xy.变式5．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222Γ:10,0xyabab，四点6,3A、554,5B、5,2C、5,2D中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为．【答案】2215xy【解析】因为点C、D关于原点对称，且双曲线也关于原点对称，故点C、D都在双曲线上，对于点A，222265aa，22232bb，所以，22222263521abab，即点A不在双曲线上，所以，点B、C、D都在双曲线上，所以，222222541555161abab，解得2251ab，因此，双曲线的标准方程为2215xy.故答案为：2215xy.变式6．（2023·高二课时练习）（1）若双曲线过点(3,92)，离心率103e，则其标准方程为．（2）若双曲线过点(2,1)P，渐近线方程是3yx，则其标准方程为．（3）若双曲线与双曲线22143yx有共同的渐近线，且经过点(3,2)M，则其标准方程为．【答案】221819yx22135359xy22168xy【解析】（1）由222109cea，设29(0)akk，则210ck，222bcak．设所求双曲线的方程为2219xykk①或2219yxkk②，把3,92代入①，得161k，与0k矛盾，舍去；把3,92代入②，得9k．∴所求双曲线的标准方程为221819yx．（2）由渐近线方程30xy，可设所求双曲线的方程为2219(0xy）①，将点(2,1)P的坐标代入①式，得35，∴所求双曲线的标准方程为22135359xy．（3）设所求双曲线的方程为22043yx，点(3,2)M在双曲线上，∴4943，即2，∴双曲线的标准方程为22168xy．故答案为：221819yx；22135359xy；