第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（练习）（解析版）

第04讲直线与圆、圆与圆的位置关系（模拟精练+真题演练）1．（2023·广东深圳·统考二模）若过点2,1M的直线l与圆22:8Oxy交于,AB两点，则弦AB最短时直线l的方程为（）A．230xyB．30xyC．240xyD．250xy【答案】D【解析】当AB最短时，直线lOM，所以1lOMkk.又12OMk，所以2lk，所以l的方程为122yx，即250xy.故选：D2．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知圆C：2214xy，直线l：1yx被圆C截得的弦长为（）A．2B．3C．22D．23【答案】C【解析】圆C：2214xy的圆心为(1,0)C，半径2r，所以圆心(1,0)C到直线1yx的距离为10122d，所以直线l：1yx被圆C截得的弦长为24222，故选：C.3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆O的直径4AB，若平面内一个动点M与点A的距离是它与点B距离的2倍，则MAB△的面积的最大值为（）A．64B．12C．62D．82【答案】D【解析】以O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则(2,0)A，(2,0)B，设(,)Mxy，因为||2||MAMB，所以2222(2)(0)2(2)(0)xyxy，整理得22(6)32xy，所以点M在以6,0为圆心，以42为半径的圆上，M到直线AB的距离的最大值为42，因此ABM的面积的最大值为1442822.故选：D4．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若点M是圆C：2240xyx上的任一点，直线l：20xy与x轴、y轴分别交于,AB两点，则AMAB的最小值为（）A．422B．2C．842D．8【答案】C【解析】20xy令0y则2x，即2,0A，令0x，则=2y，即0,2B，圆C：22222440xyxxy，则设点22cos,2sinM，42cos,2sin2,284cos4sinAMAB842sin4当sin14时取得最小值min842AMAB.故选：C.5．（2023·重庆·统考模拟预测）已知过抛物线2:2(0)Cypxp焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，且||8AB，圆225:02Cxyy，若抛物线C与圆C交于P，Q两点，且||5PQ，则线段AB的中点D的横坐标为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】圆225:02Cxyy过原点，则点P，Q之一为原点，不妨令点(0,0)P，设(,),0Qmnm，依题意，222||5mnPQ，又2252mnn，解得1,2mn，即(1,2)Q，则2221p，解得2p，抛物线2:4Cyx的焦点(1,0)F，准线方程为=1x，设1122(,),(,)AxyBxy，于是1212||||||112ABAFBFxxxx，而||8AB，因此126xx，所以线段AB的中点D的横坐标1232xx.故选：B6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）圆O：224xy与直线l：10xy交于M、N，当MN最小时，的值为（）A．2B．2C．1D．1【答案】B【解析】直线l：10xy，即10yxy，令100yxy，解得11xy，即直线l恒过定点1,1C，又221124，所以点1,1C在圆内，所以当OCl时弦MN最小，因为1OCk，所以1lk，即111，解得2.故选：B7．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）已知直线1xy与圆22xya交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若OAOBOC，则a的值为（）．A．1B．2C．2D．4【答案】C【解析】由条件可知，OAOBOCa，所以22OAOBOC，则2222OAOBOAOBOC，则2cos,aaaOAOBa，解得1cos,2OAOB，0,180OAOBoouuruuurQ,所以,120OAOB,所以圆心0,0到直线1xy的距离122ad，得2a.故选：C8．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知0,2A，2,0B，点P为圆2228130xyxy上任意一点，则PAB面积的最大值为（）A．5B．522C．52D．522【答案】D【解析】圆2228130xyxy的圆心(1,4)C，半径2r，直线AB的方程为：2yx，于是点C到直线AB：20xy的距离22|142|5221(1)d，而点P在圆C上，因此点P到直线AB距离的最大值为5222，又222222AB，所以PAB面积的最大值为15222(2)52222S.故选：D9．（2023·福建三明·统考三模）角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边不在坐标轴上，终边所在的直线与圆22:218Cxy相交于A、B两点，当ABC面积最大时πcos22（）A．2425B．45C．45D．2425【答案】D【解析】因为211sin22sin4sin22ABCSACBCACBACBACB△，故当π2ACB时，ABC的面积取最大值，则22224ABAC，所以，圆心到直线AB的距离为122dAB，由题意可知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykx，即0kxy-=，其中0k，圆C的圆心为2,1C，则22121kdk，解得34k，即3tan4，显然cos0，因此，222232π2sincos2tan244cos2sin22sincostan125314.故选：D.10．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知函数32lg12fxxtxxx在22,上的最大值与最小值分别为M和m，则经过函数311gxMmxMmx的图象的对称中心的直线被圆225xy截得的最短弦长为（）A．10B．5C．374D．372【答案】D【解析】因为32lg12fxxtxxx，所以322lg1fxxtxxx，设322lg1gxfxxtxxx，2,2x，因为函数gx的定义域关于原点对称，且3232lg1lg10gxgxxtxxxxtxxx，所以函数gx为奇函数，由已知可得函数gx的最大值为2M，最小值为2m，所以220Mm，故4Mm，所以33114,1414141gxxgxxxx，因为31httt是奇函数，关于原点对称，所以gx关于1,14中心对称，因为2211715416则点1,14在圆225xy的内部，因为点1,14到坐标原点的距离为174，所以所求最短弦长为173725162.故选：D.11．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图所示，该曲线W是由4个圆：2211xy，2211xy，2211xy，2211xy的一部分所构成，则下列叙述正确的是（）A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2πB．若圆2220xyrr与曲线W有8个交点，则22rC．BD与DE的公切线方程为120xyD．曲线W上的点到直线5210xy的距离的最小值为4【答案】ACD【解析】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积为2222142，故A选项正确.当2r时，交点为B，D，F，H；当2r时，交点为A，C，E，G；当02r或2r时，没有交点；当22r时，交点个数为8，故B选项错误.设BD与DE的公切线方程为0,0ykxtkt，由直线和圆相切的条件可得221111tktkk，解得1k，12t（12舍去），则其公切线方程为12yx，即210xy，故C选项正确.同理可得»HB，HG的公切线方程为120xy，则两平行线的距离5211242d，故D选项正确.故选：ACD.12．（多选题）（2023·湖南·校联考二模）已知点P在圆221:(x2)4Cy上，点Q在圆222:28130Cxyxy上，则（）A．两圆外离B．PQ的最大值为9C．PQ的最小值为1D．两个圆的一条公切线方程为3440xy【答案】ABC【解析】圆221:(x2)4Cy的圆心坐标12,0C，半径2r，圆222:28130Cxyxy，即22(1)(4)4xy的圆心坐标21,4C，半径2R，所以圆心距2212(12)(40)5CC，因为124CCRr，所以两圆外离．故A正确；因为P在圆1C上，Q在圆2C上，所以min12max12|1,|9PQCCRrPQCCRr，故B、C正确；因为圆心21,4C到直线3440xy的距离2213444334dR，所以3440xy不是两圆公切线，故D错误；故选：ABC．13．（多选题）（2023·湖南·校联考模拟预测）已知圆22:(1)(2)16Cxy，直线:211740lmxmym，则（）A．直线l恒过定点B．直线l能表示平面直角坐标系内每一条直线C．对任意实数m，直线l都与圆C相交D．直线l被圆C截得的弦长的最小值为211【答案】ACD【解析】对于A：直线l的方程可化为2740xymxy，联立27040xyxy，解得3,1.xy所以直线恒过定点3,1P，∴A正确；对于B：由A可知，直线l不能表示直线270xy，也不能表示不过点P的直线，∴B错误；对于C，因为22(31)(12)16，故直线l恒过圆C内一点3,1P，所以直线l与圆相交，∴C正确；对于D，当直线lCP时，直线被圆截得的弦长最短，因为2231125CP，所以最短弦长为2222165211rCP，∴D正确．故选：ACD．14．（多选题）（2023·江苏·统考模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值1的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，2,0A，4,0B，点P满足12PAPB．设点P的轨迹为C，则（）．A．轨迹C的方程为2249xyB．在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得12PDPEC．当A，B，P三点不共线时，射线PO是APB的角平分线D．在C上存在点M，使得2MOMA【答案】BC【解析】对于A，在平面直角坐标系xOy中，20A，，40B，，点P满足12PAPB，设Pxy，，则22222124xyxy，化简得2280xyx，即22416xy，所以A错误；对于B，假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得12PDPE，设，0Dm，，0En，则22222xnyxmy，化简得