第07讲 抛物线及其性质（六大题型）（讲义）（解析版）

第07讲抛物线及其性质目录考点要求考题统计考情分析（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．（2）掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．（3）了解抛物线的简单应用．2023年北京卷第6题，5分2023年II卷第10题，5分2023年乙卷（文）第13题，5分2023年I卷第22题，12分从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁．抛物线是圆雉曲线的重要内容，新高考主要考查抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用．知识点一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线()lFl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．注：若在定义中有Fl，则动点的轨迹为l的垂线，垂足为点F．知识点二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：22ypx，22ypx，22xpy，22(0)xpyp，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向图形标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp顶点(00)O，范围0x，yR0x，yR0y，xR0y，xR对称轴x轴y轴焦点(0)2pF，(0)2pF，(0)2pF，(0)2pF，离心率1e准线方程2px2px2py2py焦半径11()Axy，12pAFx12pAFx12pAFy12pAFy【解题方法总结】1、点00(,)Pxy与抛物线22(0)ypxp的关系（1）P在抛物线内（含焦点）2002ypx．（2）P在抛物线上2002ypx．（3）P在抛物线外2002ypx．2、焦半径抛物线上的点00(,)Pxy与焦点F的距离称为焦半径，若22(0)ypxp，则焦半径02pPFx，min2pPF．3、(0)pp的几何意义p为焦点F到准线l的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大．4、焦点弦若AB为抛物线22(0)ypxp的焦点弦，11(,)Axy，22(,)Bxy，则有以下结论：（1）2124pxx．（2）212yyp．（3）焦点弦长公式1：12ABxxp，12122xxxxp，当12xx时，焦点弦取最小值2p，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p．焦点弦长公式2：22sinpAB（为直线AB与对称轴的夹角）．（4）AOB的面积公式：22sinAOBpS（为直线AB与对称轴的夹角）．5、抛物线的弦若AB为抛物线22(p0)ypx的任意一条弦，1122(,),(,)AxyBxy，弦的中点为000(,)(0)Mxyy，则（1）弦长公式：212122111(0)ABABkxxyykkk（2）0ABpky（3）直线AB的方程为000()pyyxxy（4）线段AB的垂直平分线方程为000()yyyxxp6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4A法）（1）2(0)yAxA焦点为(,0)4A，准线为4Ax（2）2(0)xAyA焦点为(0,)4A，准线为4Ay如24yx，即24yx，焦点为1(0,)16，准线方程为116y7、参数方程22(0)ypxp的参数方程为222xptypt（参数tR）8、切线方程和切点弦方程抛物线22(0)ypxp的切线方程为00()yypxx，00(,)xy为切点切点弦方程为00()yypxx，点00(,)xy在抛物线外与中点弦平行的直线为00()yypxx，此直线与抛物线相离，点00(,)xy（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．9、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线22(0)ypxp，由()2pAp，，()2pBp，，可得||2ABp，故抛物线的通径长为2p．10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：0pyk11、焦点弦的常考性质已知11()Axy，、22()Bxy，是过抛物线22(0)ypxp焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MNl，N为垂足．（1）以AB为直径的圆必与准线l相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2）FNAB，FCFD（3）2124pxx；212yyp（4）设BDl，D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上题型一：抛物线的定义与方程例1．（2023·福建福州·高三统考开学考试）已知点0,2Px在抛物线C：24yx上，则P到C的准线的距离为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】抛物线24yx的准线为=1x，将0,2Px代入24yx得01x，故P到准线的距离为2，故选：C．例2．（2023·四川绵阳·统考二模）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线216xy的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（）A．6B．233C．834D．31【答案】B【解析】如图所示：xyBFACDNMO设鸽子所在位置为点,0,0Pxyxy，因为它到抛物线焦点的距离为10米，所以410y，解得y6，则216696x，所以鸽子到拱顶的最高点的距离为22233OPxy，故选：B例3．（2023·内蒙古包头·高三统考开学考试）抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线2x交C于P，Q两点，C的准线交x轴于点R，若PRQR，则C的方程为（）A．24yxB．26yxC．28yxD．212yx【答案】C【解析】由题可设抛物线的方程为220ypxp，则准线方程为2px，当2x时，可得2yp，可得2,2,2,2PpQp，又,02pR，PRQR，所以2212222pppp，即2242pp，解得4p，所以C的方程为28yx.故选：C变式1．（2023·陕西渭南·高三统考阶段练习）抛物线243yx的焦点坐标为（）A．3,016B．30,16C．1,03D．20,3【答案】B【解析】抛物线243yx的标准形式为234xy，所以抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且332,4216pp，所以焦点坐标为30,16.故选：B变式2．（2023·全国·高三校联考开学考试）过抛物线2:20Cxpyp的焦点F的直线l交C于,AB两点，若直线l过点1,0P，且8AB，则抛物线C的准线方程是（）A．=3yB．=2yC．32yD．1y【答案】D【解析】因为直线l过点0,,1,02pFP，所以直线l的方程为12pyx.由2122pyxxpy得，222420,Δ=04xpxppp.设1122,,,AxyBxy，则221212,xxpxxp.因为22224221121211414444pppABxxxxxxpp2482pp，整理得32416228)0ppppp，解得2p，所以抛物线C的准线方程是12py.故选：D.变式3．（2023·广西防城港·高三统考阶段练习）已知点A，B在抛物线24yx上，O为坐标原点，若OAOB，且AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是（）A．20xB．30xC．40xD．50x【答案】D【解析】如图所示，1,0F为AOB的垂心，F为焦点，OAOB，OF垂直平分线段AB，直线AB垂直于x轴．设24,4Att，24,4Btt，其中0t，F为垂心，OBAF，1OBAFkk，即22441441tttt，解得254t，直线AB的方程为245xt，即50x．故选：D．变式4．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知抛物线2:2(0)Eypxp的焦点为F，准线为l，过E上的一点A作l的垂线，垂足为B，点,0Cp，AF与BC相交于点D．若3AFFC，且ACD的面积为32，则E的方程为（）A．24yxB．243yxC．28yxD．283yx【答案】C【解析】设点00(,)Axy，抛物线2:2Eypx的焦点(,0)2pF，准线2px，由3AFFC得：03()22ppxp，解得0xp，不妨令点A在第一象限，则(,2)App，ACFC，如图，因为//FCAB，则||||||3||||||ADABAFDFFCFC，即有点D到x轴距离12||44phAC，2111132||||||(22)322222416ACDACFDCFppSSSACFCFChpp，解得4p，所以E的方程为28yx.故选：C【解题方法总结】求抛物线的标准方程的步骤为：（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：（2）根据题目条件列出P的方程（3）解方程求出P，即得标准方程题型二：抛物线的轨迹方程例4．（2023·高三课时练习）已知点F（1，0），直线:1lx，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是.【答案】24yx【解析】根据抛物线定义可知，点P在以1,0F为焦点，直线:1lx为准线的抛物线上，所以12p，2p，抛物线方程为24yx.故答案为：24yx.例5．（2023·全国·高三专题练习）在平面坐标系中，动点P和点(3,0)(3,0)MN、满足||||0MNMPMNNP，则动点(,)Pxy的轨迹方程为．【答案】212yx【解析】由题意(6,0),(3,),(3,)MNMPxyNPxy，由||||0MNMPMNNP得226(3)6(3)0xyx，化简得212yx．故答案为：212yx．例6．（2023·全国·高三专题练习）与点0,3F和直线30y的距离相等的点的轨迹方程是．【答案】212xy【解析】由抛物线的定义可得平面内与点0,3F和直线30y的距离相等的点的轨迹为抛物线，且0,3F为焦点，直线3y为准线，设抛物线的方程为22(0)xpyp，可知32p=，解得6p=，所以该抛物线方程是212xy，故答案为：212xy变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知动点,Mxy的坐标满足2222xyx，则动点M的轨迹方程为．【答案】28yx【解析】设2,0F，直线:l2x，则动点M到点F的距离为222xy，动点M到直线:l2x，的距离为2x，又因为222xy2x，所以动点M的轨迹是以2,0F为焦点，2x为准线的抛物线，其轨迹方程为28yx．故答案为：28yx变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知动点(,)Mxy到定点(1,0)F与定直线0x的距离的差为1．则动点M的轨迹方程为．【答案】24(0)yxx，0(0)yx（注：22||2yxx也算对）【解析】由题意，若0x时，问题等价于|||1|MFx，则222(1)(1)xyx，化简得24(0)yxx，若0x，0y也满足题意.所以动点M的轨迹方程为24(0)yxx，0(0)yx.或者根据题意有||||1MFx，则22(1)||1xyx，化简整理得：22||2yxx.所以动点M的轨迹方程为22||2yxx.故答案为：24(0)yxx，0(0)y