第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系（练习）（解析版）

第08讲直线与圆锥曲线的位置关系（模拟精练+真题演练）1．（2023·河南开封·统考三模）过抛物线220ypxp的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若13AFBF，则直线AB的倾斜角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【答案】C【解析】分别过A，B两点作横轴的垂线，垂足分别为,CD，设直线AB的倾斜角为，由题意可设1122,2,,2AxpxBxpx，因为13AFBF，所以为钝角，如下图所示：由121212332pxAFxxppBFx，因为13AFBF，所以有121221932AFACpxxxBFBDpx，所以16px，在直角三角形中AFC中，1π26cos2362ppCFAFCAFCppAF，所以π2ππ33．故选：C2．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线22:1412xyC的右焦点为F，点(0,)Am，若直线AF与C只有一个交点，则m（）A．2B．43C．23D．4【答案】B【解析】双曲线22:1412xyC可得2a，23b，224cab，所以双曲线的渐近线方程为3yx，右焦点为4,0F，因为直线AF与C只有一个交点，所以直线AF与双曲线的渐近线平行，所以0304AFmk，解得43m.故选：B.3．（2023·重庆·统考模拟预测）已知过抛物线2:2(0)Cypxp焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，且||8AB，圆225:02Cxyy，若抛物线C与圆C交于P，Q两点，且||5PQ，则线段AB的中点D的横坐标为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】圆225:02Cxyy过原点，则点P，Q之一为原点，不妨令点(0,0)P，设(,),0Qmnm，依题意，222||5mnPQ，又2252mnn，解得1,2mn，即(1,2)Q，则2221p，解得2p，抛物线2:4Cyx的焦点(1,0)F，准线方程为=1x，设1122(,),(,)AxyBxy，于是1212||||||112ABAFBFxxxx，而||8AB，因此126xx，所以线段AB的中点D的横坐标1232xx.故选：B4．（2023·河南·襄城高中校联考三模）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm，碗盖口直径为8cm，碗体口直径为10cm，碗体深6.25cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（）A．5cmB．6cmC．7cmD．8.25cm【答案】C【解析】以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设碗体的抛物线方程为22xpy（0p），将点5,6.25代入，得2526.25p，解得2p，则24xy，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为hcm，则两抛物线在第一象限的交点为4,3h，代入到24xy，解得2443h，解得7h．故选：C5．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知两个点50M，，50N，，若直线上存在点P，使得6PMPN，则称该直线为“hold直线”.给出下列直线：①43yx，②21yx，③1yx，则这三条直线中有几条“hold直线”（）A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】由题意知610PMPNMN，根据双曲线的定义，可得点P是以M，N为焦点的双曲线221916xy的右支，所以点P是双曲线右支与直线的交点，即“hold直线”须满足与双曲线的右支相交，又由双曲线221916xy的渐近线方程为43yx，①中，直线43yx为双曲线的一条渐近线，直线与双曲线没有公共点，如图所示，所以不是“hold直线”；②中，如图所示，直线21yx与双曲线的右支无交点，所以不是“hold直线”；③中，直线1yx与双曲线的右支有一交点，如图所示，所以是“hold直线”．故选：C．6．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知F为抛物线2:4Cyx的焦点，直线:(1)lykx与C交于A，B两点，则4||||AFBF的最小值是（）A．10B．9C．8D．5【答案】B【解析】设11,Axy，22,Bxy，联立2(1)4ykxyx得2222220kxkxk，则121xx.所以1212124||||414524591AFBFxxxxxx.当且仅当124xx，即112x，22x时，上式取等号，故min(4||||)9AFBF.故选：B7．（2023·四川·校联考模拟预测）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为,4,(0)FAnn为C上一点，且5AF，直线AF交C于另一点B，记坐标原点为O，则OAOB（）A．5B．-4C．3D．-3【答案】D【解析】由题意得，抛物线2:2(0)Cypxp的准线为2px，因为4,An为C上一点，且5AF，所以245,8,02pAFnpn，解得2,4pn，故抛物线2:4Cyx，焦点为1,0,4,4FA，所以AF的方程为413yx，代入2:4Cyx，得216(1)49xx，整理得241740xx，解得14x或4x，因为B为C上一点，则2144By，由于A在第一象限，所以1By，所以1,14B，所以143OAOB.故选:D.8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点P在椭圆E：22142xy上，且在第一象限，直线1l，2l过原点O，且12ll，过点P分别作直线1l，2l的垂线，垂足分别为M，N，若223PMPN，则直线OP的斜率为（）A．2B．12C．2D．22【答案】D【解析】因为1PMl，2PNl，12ll，所以90PNOPMOMON，所以四边形OMPN为矩形，因为223PMPN，所以23OP，设0000,0,0Pxyxy，则220022001423xyxy，解得0021xy，所以2,1P，所以102220OPk，即直线OP的斜率为22.故选：D9．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设0,2Fp为抛物线C：22xpy（0p）的焦点，O为坐标原点，A为C上一点，且9AF，则（）A．8pB．0,4FC．直线AF的斜率为520D．AOF的面积为85【答案】ABD【解析】由题意得22pp，又0p，故解得8p，所以抛物线C的方程为216xy，焦点0,4F，故A，B正确；由抛物线定义及492AApAFyy，所以5Ay代入抛物线方程可得45Ax得45,5A，所以45520045AFk，故C不正确；则AOF的面积1852ASOFx，故D正确.故选：ABD.10．（多选题）（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知1F，2F分别是双曲线C：2214xy的左、右焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12FF为直径的圆经过点M，则（）A．12MFF△的面积为5B．点M的横坐标为2或2C．C的渐近线方程为14yxD．以线段12FF为直径的圆的方程为223xy【答案】AB【解析】由双曲线方程知2a，1b，所以双曲线C的渐近线方程为12yx，故C错误；又225cab，所以12FF为直径的圆方程为225xy，故D错误；由22125yxxy，得21xy或21xy，所以点M的横坐标为2或2，故B正确；又1My，所以1212152MMFFSFFy△∣，故A正确．故选：AB．11．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右顶点分别为A，B，M是双曲线右支上一点，且在第一象限，线段MA被两条渐近线三等分，则（）A．3MAbkaB．3MBbkaC．MAB△的面积为3abD．若MA垂直于一条渐近线，则双曲线的离心率为3【答案】AB【解析】对于A：易知直线MA的方程为MAykxa，设直线byxa与byxa分别交直线MA于点11,Pxy，22,Qxy，如图所示：将MAykxa与byxa联立，解得1MAMAkabybak.将MAykxa与byxa联立，解得2MAMAkabybak.因为线段MA被两条渐近线三等分，所以212yy，即2MAMAMAMAkabkabbakbak，得3MAbka，故A正确.对于B：设00,Mxy，则200022000MAMByyykkxaxaxa，由2200221xyab，得2220220aaybx，则223MBbbkaa，得3MBbka，故B正确.对于C：13333343MAMMAbabkabbayybbakbaa，所以13224ABMMSayab，故C错误.对于D：设O为坐标原点，易知OPMA，因为APPQ，所以AOPQOP=，又AOPQOB，所以60QOB，故3ba，所以双曲线的离心率212bea，故D错误.故选：AB12．（多选题）（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知抛物线2:4Cxy的焦点为F，直线1l，2l过点F与圆22:21Exy分别切于A，B，两点，交C于点M，N和P，Q，则（）A．C与E没有公共点B．经过F，A，B三点的圆的方程为2220xyxyC．455ABD．1369MNPQ【答案】BCD【解析】对于A，联立222421xyxy，得422116xx，因为2x是方程的一个根，所以C与E有公共点，A项错误；对于B，连接EA，EB，则EAFA，EBFB，所以F，A，B，E四点在以FE为直径的圆上，且0,1F，2,0E，所以圆的方程为2215124xy，化简得2220xyxy，B项正确；对于C，由题得222FAEFEA，所以1225ABEAFAEF，所以455AB，C项正确；对于D，设过点F且与圆22:21Exy相切的切线方程为1ykx，由22111kk，解得0k或43k.不妨设1:1ly，24:13lyx，则4MN，联立24413xyyx得298290yy，所以829PQyy，所以10029PQPQyy，所以100136499MNPQ，D项正确.故选：BCD.13．（2023·四川成都·统考一模）已知直线l过抛物线C：24yx的的焦点且与C交于A，B两点，线段AB中点的横坐标3，则AB．【答案】8【解析】设1122(,),(,)AxyBxy，则12236xx，抛物线24yx中24,2pp，所以121262822AppxxxxpB．故答案为：8．14．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点F为抛物线2:2(0)Cypxp的焦点，过点F且倾斜角为o60的直线交抛物线C于,AB两点，若3FAFB，则p.【答案】32/1.5【解析】由题意知,0,2pFAB的方程为32pyx，代入C的方程，得2233504pxpx，设1122,,,AxyBxy，则212125,34ppxxxx；因为12,22ppFAxFBx，