第07讲 抛物线及其性质（练习）（解析版）

第07讲抛物线及其性质（模拟精练+真题演练）1．（2023·四川成都·校联考二模）已知点(0,4)F是抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点，点(2,3)P，且点M为抛物线C上任意一点，则||||MFMP的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】因为点(0,4)F是抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点，所以42p，解得8p，所以抛物线C的方程为：216xy．由抛物线的定义知：点M到点(0,4)F的距离等于点M到准线4y的距离，结合点(2,3)P与抛物线C的位置关系可知，||||MFMP的最小值是点(2,3)P到准线4y的距离，故||||MFMP的最小值为7．故选：C.2．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若抛物线22xpy（0p）上一点,3Mm到焦点的距离是5p，则p（）A．34B．32C．43D．23【答案】D【解析】设焦点为F，则352pMFp，解得23p．故选：D3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知点2,0F是抛物线C：220ypxp的焦点，点M在抛物线C上，点0,4P，且90MPF，则点M到y轴的距离为（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】因为点2,0F是抛物线C：220ypxp的焦点，所以4p，28yx．又因为90MPF，所以0PMPF，设200,8yMy，则220000,42,404484yyyy008y，所以08x，故点M到y轴的距离为8．故选：B4．（2023·四川绵阳·统考二模）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线216xy的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（）A．6B．233C．834D．31【答案】B【解析】如图所示：设鸽子所在位置为点,0,0Pxyxy，因为它到抛物线焦点的距离为10米，所以410y，解得y6，则216696x，所以鸽子到拱顶的最高点的距离为22233OPxy，故选：B5．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且60AFB，则||AB（）A．2B．22C．23D．4【答案】D【解析】由抛物线定义可知BFAB，因为60AFB，所以ABF△为等边三角形，故AFABBF，60BAF，所以60AFO，其中准线l与x轴交点为P，则2PF，故4cos60PFAF，所以||4AB.故选：D6．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）已知直线1:4360lxy和直线2:2lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和2l距离之和的最小值是（）A．3515B．2C．165D．3【答案】D【解析】由题可知1x=是抛物线24yx的准线，设抛物线的焦点为F，则1,0F，所以动点P到2l的距离等于P到1x=的距离加1，即动点P到2l的距离等于1PF.所以动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值为焦点F到直线1:4360lxy的距离加1，即其最小值是406135.故选：D7．（2023·河南·校联考二模）设F为抛物线2:4Cyx的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且MN平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若2NFEF，则梯形EFMN的面积为（）A．12B．6C．123D．63【答案】D【解析】由题知2p，抛物线的焦点F为1,0，准线l为=1x，如图所示.由题知MNl，因为2224NFEF，所以60EFN，则323NEEF.因为//MNEF，所以MNF60EFN，由抛物线的定义知MNMF，所以MNF是正三角形，所以4MN，则(42)23632EFMNS.故选：D8．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知过抛物线C：220ypxp的焦点1,0F的直线与抛物线C交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若3ADBD，O为坐标原点，则AOB的面积为（）A．833B．433C．163D．4【答案】B【解析】依题意，=1,=22pp，所以抛物线C的方程为24yx.依题意可知DE与抛物线的准线=1x垂直，在直角三角形ABD中，3ADBD，则ππ=,===63BADABDDEBAFx，所以直线AB的方程为31yx，由2314yxyx消去y并化简得23103=0xx，易得0，103ABxx，则1016==2=33ABABxxp，原点0,0到直线33=0xy的距离为32，所以116343==2323AOBS.故选：B9．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则FMFN的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】因为抛物线2:8Cyx，所以焦点坐标为2,0F，如下图所示：连接MN，过M作MQ垂直准线2x于Q，则在直角NFM△中，cosFNNFMFM，所以2222|1|||||cos||FNFMFNFMFNNFMFMFNFNFMMNFMFM由抛物线的定义得：FMMQ，则由图可得MQ的最小值即抛物线顶点O到准线2x的距离，即min||2MQ，所以22minminmin()31=1FMFNFMMQ.故选：B10．（2023·河南·统考三模）已知抛物线2:2(0)Cypxp的准线为:1lx，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于11(,)Pxy，22(,)Qxy两点，点P在l上的射影为P，则下列结论错误的是（）A．若125xx，则7PQB．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设(0,1)M，则2PMPPD．过点(0,1)M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】D【解析】由抛物线2:2(0)Cypxp的准线为:1lx，则2p，故2:4Cyx，由题意127PQxxp，故A正确；拋物线C的准线:1lx，且122PxQx，以PQ为直径的圆的半径1212xxr，线段PQ的中点坐标为1212,22xxyy，则线段PQ的中点到准线的距离为1212xxr，所以PQ为直径的圆与准线l相切，故B正确；拋物线2:4Cyx的焦点为1,0F，则2PMPPPMPFMF，当且仅当,,MPF三点共线时，取等号，所以2PMPP，故C正确；当直线斜率不存在时，直线方程为0x，与抛物线只有一个交点，当直线斜率存在时，设直线方程为1ykx，联立214ykxyx，消x得2440kyy，当0k时，方程得解为1y，此时直线与抛物线只有一个交点，当0k时，则16160k，解得1k，综上，过点0,1M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误.故选：D11．（多选题）（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知抛物线220ypxp经过点1,2M，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点11,Axy，22,Bxy，设直线OA，OB的斜率分别为1k，2k，则（）A．2pB．4ABC．4OAOBD．124kk【答案】ABD【解析】因为抛物线220ypxp经过点1,2M，所以222p，解得2p，故A正确；所以抛物线方程为24yx，则焦点1,0F，设直线:1lxmy，则241yxxmy，消去x整理得2440ymy，则216160m，所以124yym，124yy，则21212242xxmyym，121211xxmymy2121211myymyy，所以2122444ABxxm，故B正确；所以()11,OAxy=，()22,OBxy=，所以12123OAOBxxyy，故C错误；1112124kyyxkx，故D正确；故选：ABD12．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设0,2Fp为抛物线C：22xpy（0p）的焦点，O为坐标原点，A为C上一点，且9AF，则（）A．8pB．0,4FC．直线AF的斜率为520D．AOF的面积为85【答案】ABD【解析】由题意得22pp，又0p，故解得8p，所以抛物线C的方程为216xy，焦点0,4F，故A，B正确；由抛物线定义及492AApAFyy，所以5Ay代入抛物线方程可得45Ax得45,5A，所以45520045AFk，故C不正确；则AOF的面积1852ASOFx，故D正确.故选：ABD.13．（多选题）（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知A，B是抛物线C：22yx上两动点，F为抛物线C的焦点，则（）A．直线AB过焦点F时，AB最小值为4B．直线AB过焦点F且倾斜角为60时，83ABC．若AB中点M的横坐标为2，则AB最大值为5D．112AFBF【答案】BC【解析】对于A项，过点,AB分别作准线1=2x的垂线，垂足分别为11,AB，过点,AB分别作x轴的垂线，垂足分别为22,AB，准线与x轴的交点为C，设直线AB的倾斜角为，画图为：根据抛物线的定义：1AAAFn，从图可知12AAACn，1CFp，21CFFAAAn，在2RtAFA中，2cosFAn，所以1cos1,1cosnnn，同理11cosm，则21121cos1cossinABAFBF0,πsin0,1，故当sin1时2min22sin，故AB最小值为2，此时AB垂直于x轴，所以A不正确；对于B项，由A可知，228332AB，故B正确；对于C项，12215ABABAFBFxx，当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，所以AB最大值为5，故C正确；当直线AB过焦点F时，111cos1cos2AFBF，当直线AB不过焦点F时，11AFBF不是定值，举例当2ABxx时，此时2Ay，2By，即12,2,2,2,,02ABF，2235222AFBF，11242255AFBF，故D错误；故选：BC.14．（多选题）（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点为0,1F，点M为C的准线与y轴的交点，若直线1ykx与C交于A，B两点，则下列结论正确的为（）A．1pB．存在唯一实数k，使得直线AM与C相切C．恰有2个实数k，使得AFBMBFAM成立D．恰有2个实数k，使得AFBFAOBO成立【答案】BD【解析】对于A，由抛物线的焦点0,1F，则12p，解得2p，故A错误；对于B，由题意，可作图如下：由点M为抛物线C的准线与y轴的焦点，则0,1M，由选项A可知，抛物线2:4Cxy，则可得函数214yx，即12yx，设切点A00,xy，切线AM的斜率012AMkx，可得切线方程0001:2AMyyxxx，整理可得：2001124yxxx，将0,1M代入，可得：20114x，解得02x，01y.由k为直线AF的斜率，则1100