重难点突破02 活用隐圆的五种定义妙解压轴题（五大题型）（解析版）

重难点突破02活用隐圆的五种定义妙解压轴题目录题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长例1．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）平面内，定点A，B，C，D满足||||||2DADBDC，且2DADBDBDCDCDA，动点P，M满足||1AP，PMMC，则2||BM的最大值为（）A．37634B．372334C．434D．494【答案】D【解析】由题||||||DADBDC，则D到A，B，C三点的距离相等，所以D是ABC的外心.又2DADBDBDCDCDA，变形可得()0DADBDBDCDBDADCDBCA，所以DBAC，同理可得DABC，DCAB，所以D是ABC的垂心，所以ABC的外心与垂心重合，所以ABC是正三角形，且D是ABC的中心；由1||||cos||||()22DADBDADBADBDADB，解得||2DA，所以ABC的边长为23；如图所示，以A为坐标原点建立直角坐标系，则(3,3)B，(3,3)C，(2,0)D，||1AP，可设(cos,sin)P，其中[0，2]，而PMMC，即M是PC的中点，则3cos3sin(,)22M，2223712sin()cos3sin333712496||()()22444BM„，当23时，2||BM取得最大值为494．故选：D．例2．（2023·全国·高一阶段练习）已知,ab是单位向量，0ab，若向量c满足||1cab，则||cb的取值范围是（）A．[21,21]B．[1,21]C．[0,2]D．[51,51]【答案】D【解析】单位向量,ab满足0ab，即ab，作,OAaOBb，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，(1,0),(0,1)ab，设(,)cxy，则(1,1)cabxy，由||1cab得：22(1)(1)1xy，令1cos(02π)1sinxy，即(1cos,1sin)c，22||(1cos)(2sin)62(2sincos)625sin()cb，其中锐角满足1sin52cos5，因此，当sin()1时，max||62551cb，当sin()1时，min||62551cb，所以||cb的取值范围是[51,51].故选：D例3．（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量a与向量0,2b垂直，若向量c满足1abc，则cr的取值范围为（）A．1,51B．3131,22C．51,51D．31,32【答案】C【解析】由题意不妨设1,0a，设,cxy，则1,00,2,1,2abcxyxy．∵1abc，∴22121xy，即表示圆心为1,2，半径为1的圆，设圆心为P，∴22125OP．∵22cxyr表示圆P上的点到坐标原点的距离，225151cxy„，∴cr的取值范围为51,51，故选：C．变式1．（2023·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）如果圆22()()8xaya上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是（）A．()3,3B．(1,1)C．(3,1)D．(3,1)(1,3)【答案】D【解析】问题可转化为圆22:()()8Oxaya和圆221:2Oxy相交，两圆圆心距22(0)(0)2daa||a，由1||RrOORr得2222||2a22，解得1||3a，即(3,1)(1,3)a.故选：D变式2．（2023·新疆和田·高二期中）如果圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是（）A．220022，，B．2222，C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，1）【答案】A【解析】∵圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O：x2+y2＝4与圆C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1相交，∵|OC|21a，由R﹣r＜|OC|＜R+r得：121a＜＜3，∴022a＜＜，∴﹣22＜a＜0或0＜a＜22．故选A．变式3．（2023·新疆·高三兵团第三师第一中学校考阶段练习）在平面内，定点A，B，C，D满足||||||2DADBDC，0DABCDBACDCAB，动点P，M满足||1AP，PMMC，则2||BM的最大值为．【答案】494【解析】平面内，||||||2DADBDC，0DABCDBACDCAB，DABC，DBAC，DCAB，可设(0,0)D，(2,0)A，(1,3)B，(1,3)C，动点P，M满足||1AP，PMMC，可设(2cos,sin)P，1cos(2M，sin3)2，3cos(2BM，sin33)2，2223712sin()3cossin336cos63sin37496()()22444BM„，当且仅当sin()16时取等号，2||BM的最大值为494．故答案为：494．变式4．（2023·安徽池州·高一池州市第一中学校考阶段练习）在平面内，定点D与A、B、C满足||||||DADBDC，8DADBDBDCDCDA，动点P、M满足2AP，PMMC，则2||BM的最大值为．【答案】49【解析】由||||||DADBDC，可得D为ABC的外心，又DADBDBDCDCDA，可得()0DBDADC，()0DCDBDA，即0DBACDCAB，即有DBAC，DCAB，可得D为ABC的垂心，则D为ABC的中心，即ABC为正三角形，由8DADB,即有||||cos1208DADB,解得||||4DABD，ABC的边长为24cos3043，由PMMC，可得M为PC中点，22211||()()24BMBPBCAPABBC22212224APABBCAPABAPBCABBC，设,APAB，则2,3APBC，2,3ABBC,2122||[448482243cos2243cos24343cos]433BM2132543[coscos()]123743(coscossin)3223712cos6,当5(0,)6时，最大值为49,故答案为：49题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值例4．（2023·四川广元·高二四川省剑阁中学校校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，(22),(4,0)PQ，为两个定点，动点M在直线=1x上，动点N满足2216NONQ，则||PMPN的最小值为．【答案】5【解析】设点(,)Nxy，由2216NONQ得：2222(4)16xyxy，即2240xyx，即22(2)4xy，N在以OQ为直径的圆上，不妨设(2cos2,2sin)N，(1,)Mm，则(3,2)PMm，(2cos4,2sin2)PN，(2cos7,2sin4)PMPNm，2222||(2cos7)(2sin4)8694[(4)sin7cos]PMPNmmmm22(4)534(4)49sin()mm，其中为辅助角，令2(4)49mt，sin()a，则7t，11a．22||44PMPNtat，令222()44(2)44fttattaa，7t，11a，()ft在[7，)上单调递增，故当7t时，()ft取得最小值5328a，再令()5328gaa，11a，显然()ga在[1，1]上单调递增，故1a时，()ga取得最小值532825，综上，当7t，1a时，2||PMPN取得最小值25．故||PMPN的最小值为5,故答案为：5．例5．（2023·全国·高三专题练习）已知,,,ABCD四点共面，2BC，2220ABAC，3CDCA，则||BD的最大值为．【答案】10【解析】设ACm，由题意可得：23,20DCmABm，则：22228cos22ACBCABmCACBCm，ABC构成三角形，则：22220{220mmmm，解得：24m，由余弦定理：2222282cos492235232mBDBCCDBCCDCmmmm，当4m时，BD取得最大值为10.例6．（2023·浙江金华·高二校联考期末）已知圆22:121Cxy，点10A，，10.B，设P是圆C上的动点，令22dPAPB，则d的最小值为．【答案】1445【解析】设00,Pxy，222001PAxy，222001PBxy，222222000011PAPBxyxy22220000002121xxyxxy2200222xy220022xy，当OP取得最小值时，22PAPB取得最小值，由圆22:121Cxy，则圆心1,2C，半径1r，易知min14151OPOCr，则2min2512d1445.故答案为：1445.变式5．（2023·高二课时练习）正方形ABCD与点P在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且222PAPBPC，则PD的取值范围为.【答案】22,22【解析】如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则0,0,1,0,1,1,0,1ABCD，设点,Pxy，则由222PAPBPC，得222222111xyxyxy，整理得2212xy，即点P的轨迹是以点0,1M为圆心，2为半径的圆，圆心M到点D的距离为2DM，所以minmax22,22PDPD，所以PD的取值范围是22,22.故答案为：22,22.变式6．（2023·上海闵行·高二校考期末）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所在的平面内，且22||||PAPBuuruur2||PCauuur（a为常数），满足条件的点P有无数个，则实数a的取值范围是．【答案】1a【解析】以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系，如图所示：则311(0,),(,0),(,0),222ABC设(,),Pxy则222222222311||(),||(),||()222PAxyPBxyPCxy222||||||PAPBPCa222222311:()()()222xyxyxya化简得2253330,4xyya即2231()(1).63xya当1a时，点(,)Pxy不存在；当1a时，点(,)Pxy只有一个；当1a时，点(,)Pxy的轨迹是一个圆形，有无数个；故答案为：1a变式7．（2023·全国·高三专题练习）如图，ABC是边长为1的正三角形，点P在ABC所在的平面内，且222||||PAPBPCa（a为常数），下列结论中