最新广东省广州市高考数学一轮复习-专项检测试题：28-函数的奇偶性、周期性和对称性

函数的奇偶性、周期性和对称性一、奇偶性1、奇函数的定义：一般地，如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数()fx就叫做奇函数。（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x，都有)()(xfxf；（3）图象特征：奇函数图象关于原点对称。（这是判断奇函数的直观方法）2、偶函数定义：一般地，如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数()fx就叫做偶函数。（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x，都有)()(xfxf；（3）图象特征：偶函数图象关于y轴对称。（这是判断偶函数的直观方法）二、周期性周期函数的定义：对于()fx定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()()fxTfx恒成立，则称函数()fx具有周期性，T叫做()fx的一个周期，则kT（,0kZk）也是()fx的周期，所有周期中的最小正数叫()fx的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。例如，狄利克雷函数，当x为有理数时，()fx取1；当x为非有理数时，()fx取0。（1）如果函数)(xfy满足)()(11xTfxTf且)()(22xTfxTf，（1T和2T是不相等的常数），则)(xfy是以为)(212TT为周期的周期函数。（2）如果奇函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T），则函数)(xfy是以T4为周期的周期函数。（3）如果偶函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T），则函数)(xfy是以T2为周期的周期函数。三、对称性1、函数图象本身的对称性（自身对称）题设：函数)(xfy对定义域内一切x来说，其中a为常数，函数)(xfy满足：（1）)()(xafxaf函数)(xfy图象关于直线ax成轴对称；（2）)()2(xfxaf函数)(xfy的图象关于直线ax成轴对称；（3）)()(xbfxaf函数)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax成轴对称；（4）)(xf)(xf函数)(xfy图象关于y轴对称（偶函数）；（5）)(2)2(xfbxaf函数)(xfy图象关于),(ba成中心对称；（6）)(xf—)(xf函数)(xfy图象关于原点成中心对称（奇函数）；（7）如果函数)(xfy满足)()(11xTfxTf且)()(22xTfxTf，（1T和2T是不相等的常数），则)(xfy是以为)(212TT为周期的周期函数；（8）如果奇函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T），则函数)(xfy是以T4为周期的周期函数；（9）如果偶函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T），则函数)(xfy是以T2为周期的周期函数。2、两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）（1）曲线)(xfy与)(xfy关于x轴对称。（2）曲线)(xfy与)(xfy关于y轴对称。（3）曲线)(xfy与)(xfy的图象关于原点对称；（4）曲线)(yfx与)(xfy的图象关于直线xy对称。（5）曲线)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。（6）曲线0),(yxf关于直线bx对称曲线为0)2,(ybxf。（7）曲线0),(yxf关于直线0cyx对称曲线为0),(cxcyf。（8）曲线0),(yxf关于直线0cyx对称曲线为0),(cxcyf。（9）曲线0),(yxf关于点),(baP对称曲线为0)2,2(ybxaf。注意：设)(xfy，Rx都有)2()(xafxf且0)(xf有k个实根)2(k，则所有实根之和为ka。例1：已知)(xf满足)2()2(xfxf，)4()4(xfxf，当26x时cbxxxf2)(且13)4(f，若)3(bfm，)2(cfn，)11(fp，求pnm、、大小关系？解：由已知得4T，对称轴4x，4x也为一条对称轴∴8b，3c，(8/3)mf，(3/2)nf，)3()11(ffp∴pmn例2：若函数3)()(axxf，Rx有)1()1(xfxf，求)2()2(ff。解：Rx，)1()1(xfxf知)(xf的图象关于)0,1(对称，而3)()(axxf的对称中心)0,(aP，∴1a，∴3)1()(xxf，则26)3(1)2()2(3ff。例3：设)(xf是定义在R上的函数，Rx均有0)2()(xfxf，当11x时，12)(xxf，求当31x时，)(xf的解析式。解：由Rx有)2()(xfxf得4T设]3,1(x，则]1,1()2(x，)()2()42()2(xfxfxfxf；∴52]1)2(2[)2()(xxxfxf，∴当31x时，52)(xxf。