重难点突破08 圆锥曲线的垂直弦问题 （八大题型）（解析版）

重难点突破08圆锥曲线的垂直弦问题目录1、过椭圆22221yxab的右焦点(,0)Fc作两条互相垂直的弦AB，CD．若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点222(,0)acab．2、过椭圆22221yxab的长轴上任意一点(,0)()Ssasa作两条互相垂直的弦AB，CD．若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点222(,0)asab．3、过椭圆22221yxab的短轴上任意一点(0,)()Ttttt作两条互相垂直的弦AB，CD．若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点222(0,)btab．4、过椭圆22221yxab内的任意一点2222(,)(1)stQstab作两条互相垂直的弦AB，CD．若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点222222(,)asbtabab．5、以00(,)xy为直角定点的椭圆22221yxab内接直角三角形的斜边必过定点2222002222(,)abbaxyabba6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在y轴上．7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在x轴上．8、以00(,)xy为直角定点的抛物线22ypx内接直角三角形的斜边必过定点0(2xp，0)y9、以00(,)xy为直角定点的双曲线22221yxab内接直角三角形的斜边必过定点2222002222(,)ababxyabba题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点例1．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知点(1,0),(1,0)AB，动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|cos2θ=1.（P不在线段AB上）(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.【解析】（1）①当点P在x轴上且在线段AB外时0，设(,0)Pp，则(1,0),(1,0)PApPBp，coscos21，由22||||cos||||coscos(1)(1)1PAPBPAPBPAPBpp，所以2p，故(2,0)P；②当点P不在x轴上时，在△PAB中222||||||2||||cos2ABPAPBPAPB，所以222(||||)2||||(1cos2)(||||)4||||cosPAPBPAPBPAPBPAPB2(||||)44PAPB，∴||||22||2PAPBAB，即动点P在以A、B为两焦点的椭圆上，方程为：2212xy且2x；由①②知：动点P的轨迹C的方程为：2212xy；（2）显然两直线斜率存在，设AP：y=kx+1，代入椭圆方程得22(12)40kxkx，所以222412(,)1212kkPkk，1k代替k同理可得22242(,)22kkQkk，213PQkkk直线PQ：2222214()232kkkyxkkk，化简得21133kyxk；令x=0，得13y，故直线PQ过定点1(0,)3.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别为13,0F，23,0F，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程及离心率；(2)M，D分别为椭圆C的左､右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于A，B两点，直线AB是否过定点？并求出DAB面积的最大值.【解析】（1）由题意得：3c，22b故可知2224abc椭圆方程为：2214xy，离心率为：32cea（2）M，D分别为椭圆C的左､右顶点又由（1）可知：(2,0)M设直线AB的方程为：xtym，11(,)Axy，22(,)Bxy联立方程可得：22222(4)24044xtymtymtymxy有韦达定理可知：12224mtyyt，212244myyt又2AMB12121212122202()40xxyyxxxxyy又1122xtymxtym221212(1)(2)()(2)0tyymttyym2222222(1)(4)24(44)(4)0tmmtmtmmt展开后整理得：2516120mm，解得：65m或2m（舍去）65xty直线恒过定点6(,0)5122122125464254tyytyyt221212122168322564(2)()4255254DABtSyyyyyytV令22564(8)tuu则2232323236642536425DABuuSuuuu△由对勾函数的单调性可知：363625882uu所以6425DABSV，当且仅当8u，即0t时取等号此时DABS的最大值为：6425例3．（2023·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知P为圆22:4Mxy上一动点，过点P作x轴的垂线段,PDD为垂足，若点Q满足32DQDP.(1)求点Q的轨迹方程；(2)设点Q的轨迹为曲线C，过点1,0N作曲线C的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为EF､，过点N作直线EF的垂线，垂足为点H，是否存在定点G，使得GH为定值？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意得，设点00,,,QxyPxy，则点0,0Dx，因为32DQDP，所以003,0,2xxyy，则00233xxyy，因为点P在圆224xy上，所以22004xy，则222343xy，即22143xy，所以Q点轨迹方程为22143xy.（2）①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，则可设直线:10ENxtyt，联立221143xtyxy，得2243690tyty，设直线EN与曲线C两交点的坐标分别为1122,,,xyxy，则122643tyyt，122234,124343EEEyytyxtytt；,ENFN直线1:1FNxyt，同理可得：22234,3434FFttyxtt，设直线EF与x轴交于点,0TTx，则当直线EF斜率存在时，由22222334334444334TTtttttxxtt得227744Ttxt，22444777Ttxt，即直线EF恒过点4,07T；当直线EF斜率不存在时，由222444334ttt得21t，则47EFxx，则直线EF恒过点4,07T；②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，则直线EF为x轴，恒过4,07T，综上：直线EF恒过点4,0;7T,,NHEFNHHTH在以NT中点11,014为圆心，NT为直径的圆上，取11,014G，则13214GHNT为定值；存在点11,014G，使得GH为定值.变式1．（2023·上海青浦·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:12xy，过右焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为M，N．(1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求FMN面积的最大值．【解析】（1）由椭圆方程22:12xy可知：2a，1b，所以1c右焦点坐标(1,0)F，该椭圆的离心率22e；（2）证明：,ABCD斜率均存在，设1122,,,AxyBxy，直线AB方程为(1)0ykxk，则1212,122xxxxMk，联立222222(1)124220220ykxkxkxkxy，则有221222221224212,12122212kxxkkkMkkkxxk，将上式中k换为1k，可得222,22kNkk，若222221122kkkk，则直线MN斜率不存在，此时直线MN过点2,03，下证动直线MN过定点2,03，若直线MN斜率存在，则22224222333122222221122MNkkkkkkkkkkkkk，直线MN方程为222322212kkyxkkk，令0y得23x，所以此时直线MN也过定点2,03，当,ABCD两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，不妨设AB斜率不存在，CD斜率为0，此时0,0,1,0MN，则直线MN的方程为0y，过点2,03，综上，动直线MN过定点2,03；（3）由（2）可知直线MN过定点2,03P，2211112322312FMNFPMFPNkkSSSkk△△△224222221331111262252221225kkkkkkkkkkkk，令1[2,)tkk，221111()1222122252FMNttSfttttt△，因为222112()0221tftt，所以()ft在[2,)t上递减，所以2t时，FMNS取得最大值19，此时1k.变式2．（2023·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设12,FF分别是椭圆22221xaCyb＋＝：0ab（）的左､右焦点，M是C上一点，2MF与x轴垂直.直线1MF与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设0,1D是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于AB，两点，证明直线AB过定点，并求出定点坐标.【解析】（1）由题意知，点M在第一象限，M是C上一点且2MF与x轴垂直，M的横坐标为c.当xc时，2bya，即2,bMca.又直线MN的斜率为24，所以22122tan224bbaMFFcac，即22222bacac，即2220,2caca则22102ee，解得22e或2e（舍去），即22e.（2）已知0,1D是椭圆的上顶点，则1b，由（1）知2212bea，解得2a，所以，椭圆C的方程为2212xy，设直线AB的方程为1122,,,,ykxmAxyBxy，联立2222ykxmxy可得222124210*kxkmxm，所以2121222214,1212mkmxxxxkk，又1122,1,,1DAxyDBxy，121212121111DADBxxyyxxkxmkxm22121211(1)kxxkmxxm2222221411(1)1212mkmkkmmkk2222222211412(1)012mkkmmkmk，化简整理有23210mm，得13m或1m.当1m时，直线AB经过点D，不满足题意；.当13m时满足方程*中Δ0，故直线AB经过y轴上定点10,3