重难点突破13 切线与切点弦问题 （五大题型）（解析版）

重难点突破13切线与切点弦问题目录1、点00Mxy，在圆222xyr上，过点M作圆的切线方程为200xxyyr．2、点00Mxy，在圆222xyr外，过点M作圆的两条切线，切点分别为AB，，则切点弦AB的直线方程为200xxyyr．3、点00Mxy，在圆222xyr内，过点M作圆的弦AB（不过圆心），分别过AB，作圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线200xxyyr．4、点00Mxy，在圆222()()xaybr上，过点M作圆的切线方程为200()()xaxaybybr．5、点00Mxy，在圆222()()xaybr外，过点M作圆的两条切线，切点分别为AB，，则切点弦AB的直线方程为200()()xaxaybybr．6、点00Mxy，在圆222()()xaybr内，过点M作圆的弦AB（不过圆心），分别过AB，作圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为200()()xaxaybybr．7、点00Mxy，在椭圆2222xyab1(0)ab上，过点M作椭圆的切线方程为00221xxyyab．8、点00Mxy，在椭圆2222xyab1(0)ab外，过点M作椭圆的两条切线，切点分别为AB，，则切点弦AB的直线方程为00221xxyyab．9、点00Mxy，在椭圆2222xyab1(0)ab内，过点M作椭圆的弦AB（不过椭圆中心），分别过AB，作椭圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线02xxa021yyb．10、点00Mxy，在双曲线2222xyab1(00)ab，上，过点M作双曲线的切线方程为00221xxyyab．11、点00Mxy，在双曲线22xa221(00)yabb，外，过点M作双曲线的两条切线，切点分别为AB，，则切点弦AB的直线方程为00221xxyyab．12、点00Mxy，在双曲线22xa221(00)yabb，内，过点M作双曲线的弦AB（不过双曲线中心），分别过AB，作双曲线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线00221xxyyab．13、点00Mxy，在抛物线2y2(0)pxp上，过点M作抛物线的切线方程为00yypxx．14、点00Mxy，在抛物线2y2(0)pxp外，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为AB，，则切点弦AB的直线方程为00yypxx．15、点00Mxy，在抛物线2y2(0)pxp内，过点M作抛物线的弦AB，分别过AB，作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线00yypxx．题型一：切线问题例1．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知抛物线2:2(0)Eypxp，焦点为F.过抛物线外一点P（不在x轴上）作抛物线C的切线,PAPB，其中AB、为切点，两切线分别交y轴于点,CD.(1)求CACF的值；(2)证明：①FP是FA与FB的等比中项；②FP平分AFB.【解析】（1）抛物线2:2(0)Eypxp焦点,02pF，设点221212,,,22yyAyBypp，设抛物线C的切线,PAPB的方程分别为：22121122,22yyyykxyykxpp由2111222yyykxpypx整理得，221111220ppyyyykk，由2211112240ppyykk，可得11pky，同理22pky，则抛物线C的切线,PAPB的方程分别为：22121212,22yyppyyxyyxypyp则10,2yC，1212,22yyyyPp，则2111,,,2222yyypCpACF，211102222CyyypApCF（2）①由（1）可得221212222FyyyypPp2122ypApF，2222ypBpF，则222222212121222222444FyyyyyypppAFpBpp，22222221212112222222444FyyyyyyyyppppP，则2FAFBFP，故FP是FA与FB的等比中项；②2212121212,,,,,,2222222yyyyyypppFAyFByFPpppcoscos,FAFPAFPFAFPFAFP2112121212222222yyyyyppyppypFPp2112122122222222yyyppyyppppypFPFPp，coscos,FBFPBFPFBFPFBFP2212122222222222yyyyyppyppypFPp2212122222222222yyyppyyppppypFPFPp则coscosAFPBFP,又,0,πAFPBFP，则AFPBFP故FP平分AFB.例2．（2023·江西·高三校联考开学考试）已知抛物线2:8Cxy，F为C的焦点，过点F的直线l与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T．(1)当l的斜率为1时，求HI；(2)证明：FTHI．【解析】（1）依题意，抛物线C的焦点0,2F，准线方程=2y，当l的斜率为1时，l的方程为2yx，由282xyyx，得21240yy，设11,Hxy，22,Ixy，则1212yy，所以12||||||2216HIHFFIyy.（2）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为2ykx，由282xyykx消去y得28160xkx，由（1）11,Hxy，22,Ixy，128xxk，1216xx，对218yx求导，得14yx，切线TH的方程为11114yyxxx，切线TI的方程为22214yyxxx，由1112221414yyxxxyyxxx，解得42xky，即4,2Tk，当0k时，0,2T，显然FTHI；当0k时，直线FT的斜率为2(2)104kk，因此FTHI，所以FTHI.例3．（2023·湖北·高三校联考开学考试）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，过F作斜率为(0)kk的直线l与C交于,AB两点，当2k时，6AB.(1)求抛物线C的标准方程；(2)设线段AB的中垂线与x轴交于点P，抛物线C在,AB两点处的切线相交于点Q，设,PQ两点到直线l的距离分别为12,dd，求12dd的值.【解析】（1）当2k时，直线l的方程为22pyx，设1122,,,AxyBxy，联立方程组2222pyxypx,消去y得22204pxpx，所以22210Δ4434ppp恒成立，122xxp，2124pxx，所以222212121(2)()43436ABxxxxppp，解得2p，所以抛物线C的方程为24yx.（2）由（1）知1,0F，则:1lykx，设1122,,,AxyBxy，显然10x，20x，线段AB的中点为M，联立方程组21,4,ykxyx消去y得2222240kxkxk(0)k，2242224416160kkk恒成立，所以21212224,1kxxxxk，所以212122244()22kyykxxkkkkk，所以2222,kMkk，则AB的中垂线方程为22212kyxkkk，令0y，得223xk，所以223,0Pk，所以212221|(|23)1kkkkdkk.由24yx(0)y得24yy，则2yy，不妨设112yx，222yx，则切线QA的斜率为11212xx，切线QB的斜率为21x，则切线QA：11112()yxxxx，即111yxxx，切线:QB22212()yxxxx，即221yxxx，联立方程组112211yxxxyxxx，解得121111xxxyxx，由222211240kxkxk，21124210xxk，得2212222111xkk，得212222111xkk，得22121211kkxk，得22111kxk，因为111120011xykxx，所以11x，而221111kxk，所以22111kxk，所以2111kxk，则2121111211kkyxkkxk，所以2(1,)Qk，所以点Q到直线kxyk0的距离2222211kkkkdkk.故121dd.变式1．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线2:2(0)Eypxp的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且8AB．(1)求抛物线E的方程；(2)设1,Pm为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为PMk和PNk．求证：PMPNkk为定值．【解析】（1）由题意，,02pF，直线l的方程为2pyx，代入22ypx，得22304pxpx．于是123xxp，∴焦点弦12348ABxxpppp，解得p＝2．故抛物线E的方程为24yx．（2）因1,Pm在E上，∴m＝2．设E在P处的切线方程为21ytx，代入24yx，得24840tyyt．由2244841610ttt，解得t＝1，∴P处的切线方程为y＝x＋1，从而得1,0Q．易知直线MN的斜率存在，设其方程为1ykx，设11,Mxy，22,Nxy．将1ykx代入24yx，得2222240kxkxk．于是12242xxk，121xx，且111ykx，221ykx．∴122112121212122()4221111PMPNxyxyyyxxyykkxxxx2212121212228824428224224411214kkkxxxxkkkxxxxkk．故PMPNkk为定值2．变式2．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的两焦点分别为123,0,3,0FF，A是椭圆E上一点，当12π3FAF时，12FAF的面积为33.(1)求椭圆E的方程；(2)直线1111:200lkxykk与椭圆E交于MN，两点，线段MN的中点为P，过P作垂直x轴的直线在第二象限交椭圆E于