重难点突破15 圆锥曲线中的圆问题（四大题型）（解析版）

重难点突破15圆锥曲线中的圆问题目录1、曲线2222:1xyab的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆：2222xyab．2、双曲线22221(0)xyabab的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2x222yab．3、抛物线22ypx的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．4、证明四点共圆的方法：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为180，并且任何一个外角都等于它的内对角）．方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．题型一：蒙日圆问题例1．（2023·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．(1)已知动点P为圆222:Oxyr外一点，过P引圆O的两条切线PA、PB，A、B为切点，若0PAPB，求动点P的轨迹方程；(2)若动点Q为椭圆22:194xyM外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QD，C、D为切点，若0QCQD，求出动点Q的轨迹方程；(3)在（2）问中若椭圆方程为22221(0)xyabab，其余条件都不变，那么动点Q的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．【解析】（1）由切线的性质及0PAPB可知，四边形OAPB为正方形，所以点P在以O为圆心，||OP长为半径的圆上，且||2||2OPOAr，进而动点P的轨迹方程为2222xyr（2）设两切线为1l，2l，①当1l与x轴不垂直且不平行时，设点Q的坐标为0(Qx，0)y则03x，设1l的斜率为k，则0k，2l的斜率为1k，1l的方程为00()yykxx，联立22194xy，得2220000(49)18()9()360kxkykxxykx，因为直线与椭圆相切，所以Δ0，得22222000018()4(49)9[()4]0kykxkykx，化简，2222200009()(49)()(49)40kykxkykxk，进而2200()(49)0ykxk，所以2220000(9)240xkxyky所以k是方程2220000(9)240xkxyky的一个根，同理1k是方程2220000(9)240xkxyky的另一个根，202041()9ykkx，得220013xy，其中03x，②当1l与x轴垂直或平行时，2l与x轴平行或垂直，可知：P点坐标为：(3,2)，P点坐标也满足220013xy，综上所述，点P的轨迹方程为：220013xy．（3）动点Q的轨迹方程是222200xyab以下是证明：设两切线为1l，2l，①当1l与x轴不垂直且不平行时，设点Q的坐标为0(Qx，0)y则0xa，设1l的斜率为k，则0k，2l的斜率为1k，1l的方程为00()yykxx，联立22221xyab，得2222222220000()2()()0bakxakykxxaykxab，因为直线与椭圆相切，所以Δ0，得222222220000222()4()[()]0akykxkykxbaab，化简，222220002222202()()()()0ababakykxkykxbk，进而220220()()0yxbkak，所以222000022()20xkxykyab所以k是方程222000022()20xkxykyab的一个根，同理1k是方程222000022()20xkxykyab的另一个根，2020221()ykaxbk，得222200xyab，其中0xa，②当1l与x轴垂直或平行时，2l与x轴平行或垂直，可知：P点坐标为：(,)ab，P点坐标也满足222200xyab，综上所述，点P的轨迹方程为：222200xyab．例2．（2022·全国·高三专题练习）在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.（1）已知动点P为圆O：222xyr外一点，过P引圆O的两条切线PA、PB，A、B为切点，若0PAPB，求动点P的轨迹方程；（2）若动点Q为椭圆M：22143xy外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QD，C、D为切点，若0QCQD，猜想动点Q的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q的轨迹方程.【解析】（1）因为PA、PB是圆O的两条切线，所以90PAOPBO，由0PAPB可得90APB，所以四边形OAPB是矩形，因为OAOBr，所以四边形OAPB为正方形，所以22OPOAr，即点P在以O为圆心，OP长为半径的圆上，所以动点P的轨迹方程为2222xyr；（2）动点Q的轨迹是一个圆，设切线QC、QD为1l，2l，①当1l与x轴不垂直且不平行时，设点Q的坐标为00Qxy，，则02x，设1l的斜率为k，则0k，2l的斜率为1k，1l的方程为00yykxx，与22143xy联立可得22200003484120kxkykxxykx，因为直线与椭圆相切，所以Δ0，得2222000064434430kykxkykx，即2222200004343340kykxkykxk，所以2200340ykxk所以22200004230xkxyky，所以k是方程22200004230xkxyky的一个根，同理1k是方程22200004230xkxyky的另一个根，所以2020314ykkx，得22007xy，其中02x；②当1lx轴或1//lx轴时，对应2//lx轴或2lx轴，可知23P，，满足上式；综上所述，点P的轨迹方程为227xy例3．（2023·河南·校联考模拟预测）在椭圆C：22221xyab（0ab）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：2222xyab上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过()21,2P，61(,)22Q.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的蒙日圆上一点M，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若OMk，ONk存在，证明：OMONkk为定值.【解析】（1）将()21,2P，61(,)22Q代入到22221xyab，可得2222121461144abab，解得22a，21b，所以椭圆C的方程为：2212xy.（2）由题意可知，蒙日圆方程为：223xy.（ⅰ）若直线MN斜率不存在，则直线MN的方程为：2x或2x.不妨取2x，易得2,1M，2,1N，1222OMk，1222ONk，12OMONkk.（ⅱ）若直线MN斜率存在，设直线MN的方程为：ykxt.联立2212ykxtxy，化简整理得：222214220kxktxt，据题意有22222216444220ttkkkt，于是有：2221tk.设11,Mxy（10x），22,Nxy（20x）.223ykxtxy化简整理得：2221230kxktxt，222222222144(1)(3)4(33)4(3321)4(2)0ktktktkkk，12221ktxxk，212231txxk.则2222111112221122OMONkxtkxtkxxktxxtyykkxxxxxx22222222222221331tkttkkkktktt222222233ktktktt22233tkt，2221tk，所以2222221311213222OMONkkkkkkk.综上可知，OMONkk为定值12.变式1．（2023秋·浙江宁波·高三期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆2222:1(0)xyCabab中，离心率12e，左、右焦点分别是1F、2F，上顶点为Q，且22QF，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为12，求POH△面积的最大值.【解析】（1）设椭圆方程为22221,(0)xyabab，焦距为2c.由题意可知2221,22ceQFbcaa，所以1,3cb，椭圆C的方程为22143xy，且蒙日圆的方程为227xy；（2）设00(,)Pxy，设过点P的切线方程为00yykxx，由00223412yykxxxy，消去y得22222200000034422484120kxkykxxkxkxyy①，由于相切，所以方程①的Δ0，可得：22222200000016(22)4(34)(48412)0kykxkkxkyy，整理成关于k的方程可得：22200004230xkxyky，由于P在椭圆22143xy外，故22003412xy，故2200034124xy，设过点P的两切线斜率为12,kk，据题意得，00122024xykkx，20122034ykkx，又因为1212kk，所以可得20203142yx，即点00(,)Pxy的轨迹方程为：220000012,10,0105xyxxx，由不等式可知：22220000002121051055xyxyxy，即00522xy，当且仅当2200105xy时取等号，此时0055,2xy，所以0015224POHSxy△，即POH的面积的最大值为524.变式2．（2023·吉林白山·统考二模）法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线22xa-22yb=1（ab0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：22xa-22yb=1（ab0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．【解析】（1）由题意知a=3，因为双曲线C的蒙日圆方程为x2+y2=1，所以a2-b2=1，所以b=22，故双曲线C的标准方程为29x-28y=1，（2）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，联立方程组22-1