重难点突破14 阿基米德三角形 （七大题型）（解析版）

重难点突破14阿基米德三角形目录如图所示，AB为抛物线22(0)xpyp的弦，11(,)Axy，22(,)Bxy，分别过,AB作的抛物线的切线交于点P，称PAB△为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边．1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．2、若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点00Cxy，，则另一顶点P的轨迹为一条直线．3、若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．4、底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为38ap．5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p．6、点P的坐标为1212,22xxxxp；7、底边AB所在的直线方程为121220;xxxpyxx8、PAB△的面积为3128PABxxSp．9、若点P的坐标为00,xy，则底边AB的直线方程为000xxpyy．10、如图1，若E为抛物线弧AB上的动点，点E处的切线与PA，PB分别交于点C，D，则||||||||||||ACCEPDCPEDDB.11、若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在点E处的切线与阿基米德三角形PAB△的边PA，PB分别交于点C，D，则2EABPCDSS．12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的23．图1xyPBFAO题型一：定点问题例1．（2023·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知点0,1A，0,1B，动点P满足PBABPABA．记点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设D为直线=2y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F．证明：直线EF过定点．【解析】（1）设,Pxy，则,1PAxy，,1PBxy，0,2AB，0,2BA，所以，PBABPABA可以化为2211xyy，化简得24xy．所以，C的方程为24xy．（2）由题设可设,2Dt，11,Exy，22,Fxy，由题意知切线DE，DF的斜率都存在，由24xy，得24xy，则2xy，所以12DExk，直线DE的方程为1112xyyxx，即211122xxyyx，①因为11,Exy在24xy上，所以2114xy，即21122xy，②将②代入①得11220xxyy，所以直线DE的方程为11220xxyy同理可得直线DF的方程为22220xxyy．因为,2Dt在直线DE上，所以11240txy，又,2Dt在直线DF上，所以22240txy，所以直线EF的方程为240txy，故直线EF过定点0,2．例2．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆M恒过定点10,8F，圆心M到直线14y的距离为1,8ddMF．(1)求M点的轨迹C的方程；(2)过直线1yx上的动点Q作C的两条切线12,ll，切点分别为,AB，证明：直线AB恒过定点．【解析】（1）设,Mxy，则2211,84MFxydy，因为18dMF，即22111488yxy，当104y，即14y时，则22111488yxy，整理得212xy；当104y，即14y时，则22111488yxy，整理得2108xy，不成立；综上所述：M点的轨迹C的方程212xy.（2）由（1）可知：曲线C：212xy，即22yx，则4yx，设221122,2,,,,1AxxBxxQtt，可知切线QA的斜率为14x，所以切线QA：211124yxxxx，则2111124txxtx，整理得2112410xtxt，同理由切线QB可得：2222410xtxt，可知：12,xx为方程22410xtxt的两根，则121212,2txxtxx，可得直线AB的斜率221212122224ABxxkxxtxx，设AB的中点为00,Nxy，则2222121200121222,24122xxxxxtyxxxxtt，即2,41Nttt，所以直线AB：2414ytttxt，整理得1144ytx，所以直线AB恒过定点1,14P.例3．（2023·全国·高二专题练习）已知平面曲线C满足：它上面任意一定到10,2的距离比到直线32y的距离小1.(1)求曲线C的方程；(2)D为直线12y上的动点，过点D作曲线C的两条切线，切点分别为AB､，证明：直线AB过定点；(3)在（2）的条件下，以50,2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.【解析】（1）思路一：由题意知，曲线C是一个以10,2为焦点，以12y的抛物线，故C的方程为：22xy.思路二：设曲线C上的点为,xy，则2213122xyy，由题意易知，0y，整理得，22xy.（2）设111,,,2DtAxy，则21112yx.又因为212yx，所以yx.则切线DA的斜率为1x，故11112yxxt，整理得112210txy.设22,Bxy，同理得222210txy.1122,,,AxyBxy都满足直线方程2210txy.于是直线2210txy过点,AB，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB方程为2210txy，即2210txy，当20,210xy时等式恒成立.所以直线AB恒过定点10,2.（3）思路一：利用公共边结合韦达定理求面积设AB的中点为1122G,,,,AxyBxy，则121212125,,,2222xxyyxxyyGEG，1212,BAxxyy.由0EGBA，得121212125022xxyyxxyy，将22xy代入上式并整理得2212121260xxxxxx，因为120xx，所以120xx或22126xx.由（1）知121,22xxD，所以DGx轴，则21221212121411228ABEABDADBExxSSSEFxxGDxxxxxx四边形（设21xx）.当120xx时，2221121244xxxxxx，即212,3ADBExxS四边形；当22126xx时，222122112124,48xxxxxxxx，即2122,42ADBExxS四边形.综上，四边形ADBE的面积为3或42.思路二：利用弦长公式结合面积公式求面积设1,2Dt，由（1）知抛物线的焦点F的坐标为10,2，准线方程为12y.由抛物线的定义，得22221212212211421122222222xxxxxxtABt.线段AB的中点为21,2Gtt.当120xx时，0,tABy轴，2AB，15123;222ADBES四边形；当120xx时，0t，由EGAB，得2152210ttt，即1t.所以34,1,2ABG，直线AB的方程为12yx.根据对称性考虑点311,,1,22GD和直线AB的方程12yx即可.E到直线AB的距离为2253(01)222EG，D到直线AB的距离为221112221(1).所以1422422ADBES四边形.综上，四边形ADBE的面积为3或42.思路三：结合抛物线的光学性质求面积图5中，由抛物线的光学性质易得12，又13，所以23.因为1,AFAAADAD，所以AFD△≌1AAD△，所以1190,,AFDAADDFABDADF.同理BDFV≌11BDBDBDF，所以11DADB，即点D为11AB中点.图6中已去掉坐标系和抛物线，并延长11,BABA于点H.因为,GEABDFAB，所以GEDF∥.又因为,GD分别为11,ABAB的中点，所以1GDAAEF∥∥，故EFDG为平行四边形，从而112,24GDEFABAABBGD.因为FIGD∥且12FIGD，所以I为HD的中点，从而2DFGE.114222ADBABEADBESSSABDFABGE四边形.当直线AB平行于准线时，易得3ADBES四边形.综上，四边形ADBE的面积为3或42.思路四：结合弦长公式和向量的运算求面积由（1）得直线AB的方程为12ytx.由2122ytxxy，可得2210xtx，于是2121212122,1,121xxtxxyytxxt2121ABtxx22212121421txxxxt设12,dd分别为点,DE到直线AB的距离，则212221,1dtdt.因此，四边形ADBE的面积22121312SABddtt.设M为线段AB的中点，则21,2Mtt，由于EMAB，而2,2,EMttAB与向量1,t平行，所以220ttt，解得0t或1t.当0t时，3S；当1t时42S因此，四边形ADBE的面积为3或42.变式1．（2023·陕西·校联考三模）已知直线l与抛物线2:2(0)Cxpyp交于A，B两点，且OAOB，ODAB，D为垂足，点D的坐标为(1,1)．(1)求C的方程；(2)若点E是直线4yx上的动点，过点E作抛物线C的两条切线EP，EQ，其中P，Q为切点，试证明直线PQ恒过一定点，并求出该定点的坐标．【解析】（1）设点A的坐标为11,xy，点B的坐标为22,xy，因为1ODk，所以1ABk，则直线AB的方程为2yx，联立方程组222yxxpy，消去y，整理得2240xpxp，所以有122xxp，124xxp，又OAOB，得12121212220xxyyxxxx，整理得121224220xxxppx，解得1p．所以C的方程为22xy．（2）由22xy，得212yx，所以yx，设过点E作抛物线C的切线的切点为200,2xx，则相应的切线方程为20002xyxxx，即2002xyxx，设点(,4)Ett，由切线经过点E，得20042xtxt，即2002280xtxt，设233,2xPx，244,2xQx，则3x，4x是22280xtxt的两实数根，可得342xxt，3428xxt．设M是PQ的中点，则相应342Mxxxt，则2223434343411222224Myyxxyxxxx，即24Mytt，又2234343411222PQxxxxktxx，直线PQ的方程为24()ytttxt，即(1)4ytx，所以直线PQ恒过定点(1,4)．变式2．（2023·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线