重难点突破18 定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题（四大题型）（解析版）

重难点突破18定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题目录题型一：定比点差法例1．已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的离心率为32，过右焦点F且斜率为k（0k）的直线与C相交于A，B两点，若3AFFB，求k【解析】由32e，可设椭圆为2224xym（0m），设11(,)Axy，22(,)Bxy，(3,0)Fm，由3AFFB，所以121233133013xxmyy，121234330xxmyy．又2221122222(1)4(2)4xymxym2221122222(1)4(2)9999(3)4xymxym按配型由（1）-（3）得212121212(3)(3)(3)(3)84xxxxyyyym128333xxm，又12343xxm1233xm236(,)33mmA．又(3,0)Fm2k．例2．已知22194xy，过点(0,3)P的直线交椭圆于A，B（可以重合），求PAPB取值范围．【解析】设11(,)Axy，22(,)Bxy，(0,3)P，由APPB，所以12120131xxyy121203(1)xxyy．由221122224936(1)4936(2)xyxy221122222224936(1)4)936()2(3xyxy配比由（1）-（3）得：21212121249361xxxxyyyy12413yy，又1231yy11356y，又12,2y15,5，从而1,55PAPB．例3．已知椭圆22162xy的左右焦点分别为1F，2F，A，B，P是椭圆上的三个动点，且11PFFA，22PFFB若2，求的值．【解析】设00,Pxy，11(,)Axy，22(,)Bxy，，由11PFFA，22PFFB得①1,0Fc满足0101010111001xxcxxcyyyy2,0Fc满足0202020211001xxcxxcyyyy②由2200222211221(1)1(2)xyabxyab2200222222211221(1)(3)xyabxyab③由（1）-（3）得：010101012221xxxxyyyyxab20101201111xxxxaaxxc，又011xxc222202acacxcc，同理可得222202acacxcc2222222222108acacacccac．变式1．设1F，2F分别为椭圆2213xy的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若125FAFB，求点A的坐标【解析】记直线1FA反向延长交椭圆于1B，由125FAFB及椭圆对称性得1115AFFB，设11(,)Axy，22(,)Bxy，(2,0)F．①由定比分点公式得121252155015xxyy121256250xxyy．②又221122221(1)31(2)3xyxy221122221(1)4(2)25252525(3)3xyxy按配型③由（1）-（3）得12121212(5)(5)(5)(5)243xxxxyyyy12562xx，又12562xx10x(0,1)A．变式2．已知椭圆22:12Cxy，设过点2,2P的直线l与椭圆C交于A，B，点Q是线段AB上的点，且112PAPBPQ，求点Q的轨迹方程．【解析】设11(,)Axy，22(,)Bxy，00,Qxy由112PAPBPQ22PQPQPAAQPBQBPAPBPAPB0AQQBPAAQPAPBPBQB，记0APAQPBQB，即APPB，AQQB．①APPB，由定比分点得：1212121222112121xxxxyyyyAQQB，由定比分点得1201201212001111xxxxxxyyyyyy②又2211222222(1)22(2)xyxy22112222222222(1)22(23())xyxy配比③由（1）-（3）得：212121212221xxxxyyyy20021141121xy00242xy，即2200002122xyxy．题型二：齐次化例4．已知抛物线2:4Cyx，过点(4,0)的直线与抛物线C交于P，Q两点，O为坐标原点．证明：90POQ．【解析】直线1122:4,,,,PQxmyPxyQxy由4xmy，得14xmy则由244xmyyx，得：244xmyyx，整理得：210yymxx，即：12121yyxx．所以12121OPOQyykkxx，则OPOQ，即：90POQ．例5．如图，椭圆22:12xEy，经过点(1,1)M，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点(0,1)A，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．【解析】设直线1122:(1)1,,,,PQmxnyPxyQxy则21mn．由22(1)112mxnyxy，得：22[(1)1]12xy．则22(1)2(1)[(1)]02xyymxny，故2111(12)202yynmxx．所以1212112221yymxxn．即1212112APAQyykkxx．例6．已知椭圆22:14xCy，设直线l不经过点2(0,1)P且与C相交于A，B两点．若直线2PA与直线2PB的斜率的和为1，证明：直线l过定点．【解析】设直线:(1)1lmxny．．．．．．（1）由22:14xCy，得22[(1)1]14xy即：22(1)2(1)04xyy．．．．．．（2）由（1）（2）得：22(1)2(1)[(1)]04xyymxny整理得：2111(12)204yynmxx则221212112112PAPByymkkxxn，则221mn，代入直线:(1)1lmxny，得：:(21)2(1)2lnxny显然，直线过定点(2,1)．变式3．已知椭圆22:13xCy，0,1B，P，Q为上的两个不同的动点，23BPBQkk，求证：直线PQ过定点．【解析】设直线PQ方程为：ykxb则2222213163303xykxkbxbykxb即12221226133313kbxxkbxxk，又因为21212121212121211111123BPBQkxxkbxxbyykxbkxbkkxxxxxx化简得221223bbb或1b（舍去）．即PQ直线为3ykx，即直线PQ过定点0,3．题型三：极点极线问题例7．（2023·全国·高三专题练习）椭圆方程2222:1(0)xyabab，平面上有一点00(,)Pxy．定义直线方程0022:1xxyylab是椭圆在点00(,)Pxy处的极线．已知椭圆方程22:143xyC．(1)若0(1,)Py在椭圆C上，求椭圆C在点P处的极线方程；(2)若00(,)Pxy在椭圆C上，证明：椭圆C在点P处的极线就是过点P的切线；(3)若过点(4,0)P分别作椭圆C的两条切线和一条割线，切点为X，Y，割线交椭圆C于M，N两点，过点M，N分别作椭圆C的两条切线，且相交于点Q．证明：Q，X，Y三点共线．【解析】（1）由题意知，当01x时，032y，所以3(1,)2P或3(1,)2P．由定义可知椭圆C在点00(,)Pxy处的极线方程为00143xxyy，所以椭圆C在点3(1,)2P处的极线方程为142xy，即240xy点3(1,)2P处的极线方程为142xy，即240xy（2）因为00(,)Pxy在椭圆C上，所以2222000013434120xyxy，由定义可知椭圆C在点00(,)Pxy处的极线方程为00143xxyy，当00y时，02x，此时极线方程为2x，所以P处的极线就是过点P的切线．当00y时，极线方程为00000331434xxyyxyxyy．联立00022334143xyxyyxy，得20220002021836312094xxxyyxy．222002002222000036318936()4(3)(12)04142xyxxyyyy．综上所述，椭圆C在点P处的极线就是过点P的切线；（3）设点00(,)Qxy，11(,)Mxy，22(,)Nxy，由（2）可知，过点M的切线方程为111:143xxyyl，过点N的切线方程为222:143xxyyl．因为1l，2l都过点00(,)Qxy，所以有10102020143143xxyyxxyy，则割线MN的方程为000:143xxyyl；同理可得过点(4,0)P的两条切线的切点弦XY的方程为34:114xlx．又因为割线MN过点(4,0)P，代入割线方程得004114xx．所以Q，X，Y三点共线，都在直线1x=上．例8．（2023·全国·高三专题练习）阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：22220AxCyDxEyF，则称点P(0x，0y)和直线l：00000AxxCyyDxxEyyF是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0xx替换2x，以02xx替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(0x，0y)对应的极线方程.特别地，对于椭圆22221xyab，与点P(0x，0y)对应的极线方程为00221xxyyab；对于双曲线22221xybb，与点P(0x，0y)对应的极线方程为00221xxyyab；对于抛物线22ypx，与点P(0x，0y)对应的极线方程为00yypxx.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：(1)已知椭圆C：22221(0)xyabab经过点P(4，0)，离心