第01讲 集合（七大题型）（讲义）（解析版）

第01讲集合目录考点要求考题统计考情分析（1）集合的概念与表示（2）集合的基本关系（3）集合的基本运算2022年I卷II卷第1题，5分2021年I卷II卷第1题，5分2020年I卷II卷第1题，5分高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合.同时适当关注集合与充要条件相结合的解题方法.1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：和.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn图）.（4）常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN或NZQR说明：①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A，可知1A,在该集合中，6A,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合{,,}Aabc应满足abc.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合{1,2,3,4,5}A和{1,3,5,2,4}B是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB（或BA），读作“A包含于B”（或“B包含A”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作ABÜ（或BA）.读作“A真包含于B”或“B真包含A”.（3）相等：如果集合A是集合B的子集（AB，且集合B是集合A的子集（BA），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作AB.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB，即{|,}ABxxAxB且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作AB，即{|,}ABxxAxB或．（3）补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UCA，即{|,}UCAxxUxA且．4、集合的运算性质（1）AAA，A，ABBA．（2）AAA，AA，ABBA．（3）UACA，UACAU，UUCCAA．【解题方法总结】（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有21n个，非空子集有21n个，非空真子集有22n个．（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．（3）UUABABAABBCBCA．（4）()()()UUUCABCACB,()()()UUUCABCACB．题型一：集合的表示：列举法、描述法例1．（2023·广东江门·统考一模）已知集合1,0,1A，2|1,1BmmAmA，则集合B中所有元素之和为（）A．0B．1C．－1D．2【答案】C【解析】根据条件分别令211,0,1m，解得0,1,2m，又1mA，所以1,2m，1,2,2B，所以集合B中所有元素之和是1，故选：C．例2．（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合A和B，我们把集合,,xxabaAbB∣记作AB.若集合0,1,0,1AB，则AB中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】0,1,0,1AB，则0,1,1AB，则AB中元素的个数为3故选：C例3．（2023·全国·高三专题练习）定义集合ABxyxA且yB.已知集合2,4,6A，1,1B，则AB中元素的个数为（）A．6B．5C．4D．7【答案】C【解析】根据题意，因为2,4,6A，1,1B，所以1,3,5,7AB.故选：C.【解题总结】1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.2、描述法，注意代表元素.题型二：集合元素的三大特征例4．（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合21,3Mmm，若3M，则实数m=（）A．0B．1C．0或1D．0或1【答案】C【解析】设集合21,3Mmm，若3M，3M，213m或33m，当213m时，1m，此时3,4M；当33m时，0m，此时3,1M；所以1m或0.故选：C例5．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合1,,Aab，2,,Baaab，若AB，则20232022ab（）A．1B．0C．1D．2【答案】A【解析】由题意AB可知，两集合元素全部相等，得到21aabb或21abab，又根据集合互异性，可知1a，解得1a(舍)，10ab和11ab(舍)，所以1a，0b，则2023202220232022(1)01ab，故选：A例6．（2023·北京东城·统考一模）已知集合220Axx，且aA，则a可以为（）A．－2B．－1C．32D．2【答案】B【解析】∵220x，∴22x，∴|22Axx，可知32,,22AAA，故A、C、D错误；1A，故B正确.故选：B【解题方法总结】1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。题型三：元素与集合间的关系例7．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知210Axxax∣，若2A，且3A，则a的取值范围是（）A．5,2B．510,23C．510,23D．03,1【答案】B【解析】由题意，22210a且23310a，解得51023a，故选：B例8．（2023·吉林延边·统考二模）已知集合2=-3+2=0Axaxx的元素只有一个，则实数a的值为（）A．98B．0C．98或0D．无解【答案】C【解析】集合A有一个元素，即方程2320axx有一解，当=0a时，22=3+2=0=3+2=0=3Axaxxxx，符合题意，当0a时，2320axx有一解，则980a，解得：98a，综上可得：=0a或98a，故选：C.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知集合22,1,,42xyAxyxZyZ，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．11D．12【答案】C【解析】由椭圆的性质得22,22xy，又,xZyZ,所以集合=2,0,2,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1A共有11个元素.故选：C【解题方法总结】1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别．2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是还是．题型四：集合与集合之间的关系例10．（多选题）（2023·山东潍坊·统考一模）若非空集合,,MNP满足：,MNNMPP，则（）A．PMB．MPMC．NPPD．pMNð【答案】BC【解析】由MNN可得：NM，由MPP，可得MP，则推不出PM，故选项A错误；由MP可得MPM，故选项B正确；因为NM且MP，所以NP，则NPP，故选项C正确；由NM可得：pMNð不一定为空集，故选项D错误；故选：BC.例11．（2023·江苏·统考一模）设,2kMxxkZ，1,2NxxkkZ，则（）A．MNÜB．NMÜC．MND．MN【答案】B【解析】因为112122xkk，因为kZ，所以集合N是由所有奇数的一半组成，而集合M是由所有整数的一半组成，故NMÜ.故选：B例12．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知集合2|120Axxx，22|3210}Bxxmxmm，若“xA”是“xB”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．3,2B．1,3C．51,2D．52,2【答案】C【解析】由题意集合2|120[3,4]Axxx，22|3210}{|(1)(21)0}Bxxmxmmxxmxm，若m2，则211mm，此时(1,21)Bmm，因为“xA”是“xB”的必要不充分条件，故BA,故214513,222mmmm；若2m，则211mm，此时(21,1)Bmm，因为“xA”是“xB”的必要不充分条件，故BA,故14213,122mmmm；若2m，则211mm，此时B，满足BA,综合以上可得51,2m，故选：C例13．（2023·广东茂名·统考二模）已知集合1Axx，20Bxxa，若AB，则实数a的取值范围是（）A．2,B．2,C．,2D．,2【答案】A【解析】集合111Axxxx，2aBxx.要使AB，只需12a，解得：2a.故选：A【解题方法总结】1、注意子集和真子集的联系与区别.2、判断集合之间关系的两大技巧：（1）定义法进行判断（2）数形结合法进行判断题型五：集合的交、并、补运算例14．（2023·广东广州·统考二模）已知集合32,AxxnnN，6,7,10,11B，则集合AB的元素个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为32,AxxnnN，6,7,10,11B，则7,10AB，故集合AB的元素个数为2.故选：B.例15．（2023·河北张家口·统考二模）已知集合|240Axxx，1|03Bxx，则ABRR痧（）A．2,3B．3,4C．,23,D．,34,【答案】C【解析】|240|24Axxxxx，1|0|33Bxxxx，即2,4A，,3B，所以，,24,ARð，3,BRð，所以，,23,ABRR痧.故选：C.例16．（2023·广东·统考一模）已知集合{20},{10}MxxxNxx∣∣，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合{12}xx∣的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】2002,101xxxxx