第02讲 常用逻辑用语（五大题型）（讲义）（解析版）

第02讲常用逻辑用语目录考点要求考题统计考情分析（1）必要条件、充分条件、充要条件；（2）全称量词与存在量词；（3）全称量词命题与存在量词命题的否定．2022年天津卷第2题，5分2021年全国甲卷第7题，5分从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中．重点关注如下两点：（1）集合与充分必要条件相结合问题的解题方法；（2）全称命题与存在命题的否定和以全称命题与存在命题为条件，求参数的范围问题．一、充分条件、必要条件、充要条件1、定义如果命题“若p，则q”为真（记作pq），则p是q的充分条件；同时q是p的必要条件．2、从逻辑推理关系上看（1）若pq且qp¿，则p是q的充分不必要条件；（2）若pq¿且qp，则p是q的必要不充分条件；（3）若pq且qp，则p是q的的充要条件（也说p和q等价）；（4）若pq¿且qp¿，则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件．对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．所谓“充分”是指只要p成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得p成立，必须要q成立（即如果q不成立，则p肯定不成立）．二．全称量词与存在量词（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对M中的任意一个x，有()px成立”可用符号简记为“,()xMpx”，读作“对任意x属于M，有()px成立”．（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M中的一个0x，使0()px成立”可用符号简记为“00,()xMPx”，读作“存在M中元素0x，使0()px成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．三．含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题:,()pxMpx的否定p为0xM，0()px．（2）存在量词命题00:,()pxMpx的否定p为,()xMpx．注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．【解题方法总结】1、从集合与集合之间的关系上看设|(),|()AxpxBxqx．（1）若AB，则p是q的充分条件（pq），q是p的必要条件；若AB躡，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即pq且qp¿；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”．（2）若BA，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；（3）若AB，则p与q互为充要条件．2、常见的一些词语和它的否定词如下表原词语等于()大于()小于()是都是任意（所有）至多有一个至多有一个否定词语不等于()小于等于()大于等于()不是不都是某个至少有两个一个都没有（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个0x，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例．（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个0x使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题．【典例例题】题型一：充分条件与必要条件的判断【解题总结】1、要明确推出的含义，是p成立q一定成立才能叫推出而不是有可能成立．2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养．例1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知向量2,9am，1,1b，则“3m”是“//ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若3m，则9,99ab，所以//ab；若//ab，则21910m，解得3m，得不出3m．所以“3m”是“//ab”的充分不必要条件．故选：A．例2．（2023·全国·高三专题练习）已知直线a平面，则“直线//a平面”是“平面平面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“直线//a平面”成立，设l，且//la，又a平面，所以l平面，又l，所以“平面平面”成立；若“平面平面”成立，且直线a平面，可推出//a平面或a平面，所以“直线//a平面”不一定成立.综上，“直线//a平面”是“平面平面”的充分不必要条件.故选：A.例3．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）“1cos22”是“1cos2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】211cos22cos1,cos22，所以“1cos22”是“1cos2”的必要不充分条件.故选：B例4．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知a，bR，则“ab”是“22ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若0ab=，则22ab不成立，若ab且0ab，此时22ab推不出ab，所以“ab”是“22ab”的既不充分也不必要条件.故选：D题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围【解题总结】1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系．2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错．例5．（2023·山东潍坊·统考二模）若“x”是“sincos1xx”的一个充分条件，则的一个可能值是__________.【答案】π4（只需满足π2π,2π2kkkZ即可）【解析】由sincos1xx可得π2sin14x，则π2sin42x，所以，ππ3π2π2π444kxkkZ，解得π2π2π2kxkkZ，因为“x”是“sincos1xx”的一个充分条件，故的一个可能取值为π4.故答案为：π4（只需满足π2π,2π2kkkZ即可）.例6．（2023·上海长宁·统考二模）若“1x”是“xa”的充分条件，则实数a的取值范围为___________．【答案】,1【解析】“1x”是“xa”的充分条件，1xxa，1a，即实数a的取值范围为,1.故答案为：,1.例7．（2023·全国·高三专题练习）若“2x”是“xa”的必要不充分条件，则a的值可以是__________.（写出满足条件a的一个值即可）【答案】0（答案不唯一，满足2a即可）【解析】由于“2x”是“xa”的必要不充分条件，所以2a，所以a的值只需小于2即可.故答案为：0（答案不唯一，满足2a即可）题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假【解题总结】1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论．2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可．例8．（2023·河北·高三学业考试）设非空集合P，Q满足PQP，则下列选项正确的是（）A．xQ，有xPB．xQ，有xPC．xQ，使得xPD．xP，使得xQ【答案】B【解析】PQP，PQ，当P⫋Q时，0xQ，使得0xP，故A错误；PQ，xP，必有xQ，即xQ，必有xP，故B正确；由B正确，得xQ，必有xP，xQ，使得xP错误，即C错误；当PQ时，不存在0xP，使得0xQ，故D错误，综上只有B是正确的．故选：B．例9．（2023·全国·高三专题练习）已知01ba，下列四个命题：①(0,)x，xxab，②(0,1)x，loglogabxx，③(0,1)x，abxx，④(0,)xb，logxaax．其中是真命题的有（）A．①③B．②④C．①②D．③④【答案】C【解析】对于①，由01ba得：1ab，(0,)x，01xxxaaabbb，则xxab，①正确；对于②，(0,1)x，loglogloglog10xxxxaabb，即0loglogxxab，则loglogabxx，②正确；对于③，函数(01)xymm在(0,1)上为减函数，而01ba，则abmm，即(0,1)x，abxx，③错误；对于④，当(0,)xb时，1xa，logloglog1aaaxba，即logxaax，④错误，所以所给命题中，真命题的是①②．故选：C例10．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线1:11lxayaaR，直线21:2lyx，给出下列命题：①Ra，使得12//ll；②Ra，使得12ll；③Ra，1l与2l都相交；④Ra，使得原点到1l的距离为2.其中正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．①④【答案】C【解析】对于①，若12//ll，则111210aa，该方程组无解，①错；对于②，若12ll，则11112a，解得32a，②对；对于③，当1a时，直线1l的方程为20xy，即12yx，此时，1l、2l重合，③错；对于④，直线1l的方程为110xaya，若aR，使得原点到1l的距离为2，则21211aa，整理可得231070aa，Δ1004370，方程231070aa有解，④对.故选：C.题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定【解题总结】1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定．2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否．例11．（2023·四川成都·三模）命题“2,10xxxR”的否定是（）A．2000,10xxxRB．2000,10xxxRC．2,10xxxRD．2000,10xxxR【答案】B【解析】由题意可得，“2,10xxxR”的否定是2000,10xxxR，故选：B例12．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知命题:Npn，22n不是素数，则p为（）A．nN，22n是素数B．nN，22n是素数C．nN，22n是素数D．nN，22n是素数【答案】D【解析】命题p为全称量词命题，该命题的否定为:pnN，22n是素数.故选：D.例13．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）命题“有一个偶数是素数”的否定是（）A．任意一个奇数是素数B．任意一个偶数都不是素数C．存在一个奇数不是素数D．存在一个偶数不是素数【答案】B【解析】由于存在量词命题:,()pxMpx，否定为:,()pxMpx.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.故选：B题型五：根据命题的真假求参数的取值范围【解题总结】1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可．2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到．例14．（2023·全国·高三专题练习）若命题“21,3,2130aaxaxa”为假命题，则实数x的取值范围为（）A．1,4B．50,3C．51,0,43D．51,0,43【答案】C【解析】命题“21,3,2130aaxaxa