第03讲 等式与不等式的性质（五大题型）（讲义）（解析版）

第03讲等式与不等式的性质目录考点要求考题统计考情分析1．掌握等式性质．2．会比较两个数的大小．3．理解不等式的性质，并能简单应用．2022年II卷第12题，5分高考对不等式的性质的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容．1、比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较ba0ba)0(1baba，或)0(1baba，ba0ba)0(1bbaba0ba)0(1baba，或)0(1baba，2、不等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性abbaabba；传递性cacbbacacbba，；，可加性cbcaba可乘性bcaccbabcaccba00，；，同向可加性dbcadcca，同向同正可乘性bdacdcba00，可乘方性*0abnN，nnab【解题方法总结】1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．题型一：不等式性质的应用【解题方法总结】1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．2、充分利用基本初等函数性质进行判断．3、小题可以用特殊值法做快速判断．例1．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知abc，0ac，则下列关系式一定成立的是（）A．2cbcB．0bcacC．abcD．2cbbc【答案】BD【解析】因为0ac，所以0abc或0abc，当0abc时，2bcc，A不成立，0bcac，abc，由0,0cbbc，故22cbcbbcbc，当且仅当cbbc，即bc时，等号成立，因为bc，故等号不成立，故2cbbc；当0abc时，2bcc，0bcac，不妨设0123，则abc，故此时C不成立，由0,0cbbc，故22cbcbbcbc，当且仅当cbbc，即bc时，等号成立，因为bc，故等号不成立，故2cbbc；综上：BD一定成立.故选：BD例2．（多选题）（2023·山东·校联考二模）已知实数,,abc满足abc，且0abc，则下列说法正确的是（）A．11acbcB．2acbC．22abD．0abbc【答案】BC【解析】对于A，abc，0acbc，11acbc，A错误；对于B，abc，0abc，0a，0c，0bca，0ab，abbc，即2acb，B正确；对于C，0ab，0abc，220ababab，即22ab，C正确；对于D，20abbcbacb，D错误.故选：BC.例3．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）若0abc，则下列结论正确的是（）A．aacbB．22aabcC．abbaccD．2acabbc【答案】ACD【解析】∵0abc，则0bc，0bc，∴()aaabccbbc0，即aacb，A正确；例如1a，2b，3c，22(2)4ab，22(3)9ac，显然49，B错误；由0abc得0cb，0ac，∴()0()abbacbacccac，即abbacc，C正确；易知0ac，0ab，0bc，22()()()()2()()()0acabbcabbcabbcabbc，∴2acabbc，D正确；故选：ACD．题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式【解题方法总结】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若0,0ab，则1bbaa；1bbaa；1bbaa；若0,0ab，则1bbaa；1bbaa；1bbaa．例4．（2023·全国·高三专题练习）若0,1abab,则将221,,,2,2ababab从小到大排列为______.【答案】22122aababb【解析】0,1abab，不妨令12,33ab，则有22452,99abab，有22122bababa，即22122aababb.故答案为：22122aababb.例5．（2023·全国·高三专题练习）如果ab，给出下列不等式：①11ab；②a3b3；③22ab；④2ac22bc2；⑤ab1；⑥a2＋b2＋1ab＋a＋b.其中一定成立的不等式的序号是________．【答案】②⑥【解析】令1,1ab，11ab，排除①，22ab，排除③选项，11ab，排除⑤.当0c=时，排除④.由于幂函数3yx为R上的递增函数，故33ab，②是一定成立的.由于22222111102ababababab，故221ababab.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.例6．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：baacbd；（2）设x，Ry，比较222xy与2()xyxy的大小.【解析】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，从而得110acbd.又a＞b＞0，所以baacbd.（2）因为2222443333()()()xyxyxyxyxyxyxxyyyx233222223(())()024yxyxyxxxxyyyxyy，当且仅当x＝y时等号成立，所以当x＝y时，2222()xyxyxy；当xy时，2222()xyxyxy.例7．（2023·全国·高三专题练习）（1）试比较15xx与23x的大小；（2）已知ab，11ab，求证：0ab．【解析】（1）由题意，2153xxx22656940xxxx，所以2153xxx．（2）证明：因为11ab，所以110ab，即0baab，而ab，所以0ba，则0ab．得证．题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围【解题方法总结】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．例8．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足322,124,xyxy则（）A．x的取值范围为(1,2)B．y的取值范围为(2,1)C．xy的取值范围为()3,3D．xy的取值范围为(1,3)【答案】ABD【解析】因为124xy，所以2428xy.因为322xy，所以5510x，则12x，故A正确；因为322xy，所以6244xy.因为124xy，所以421xy，所以1055y，所以21y，故B正确；因为322124xyxy，，所以9361142,2555555xyxy（）（），则22xy，故C错误；因为322124xyxy，，所以213331222555555xyxy（），（），则13xy，故D正确.故选：ABD.例9．（2023·广东·高三校联考期末）已知31ba，37ab，则5ab的取值范围为（）A．15,31B．14,35C．12,30D．11,27【答案】D【解析】设5abmabnabmnanmb，所以5213mnmnmn，则523ababab，又31ba，37ab所以226ab，9321ab，由不等式的性质得：112327abab，则5ab的取值范围为11,27.故选：D.例10．（2023·全国·高三专题练习）已知12a，14b，则2ab的取值范围是（）A．724abB．629abC．629abD．228ab【答案】A【解析】因为14b，所以822b，由12a，得724ab.故选：A.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当0c时，23bac且2bca，则2acb的取值范围是____________．【答案】1,9【解析】当0c时满足：23bac„且2bca，223aacc„，即22230aacc，进而2()230aacc„，解得13ac剟．所以13ca或1ca，222222()accccaccfaaaab，令1,,13ctta，22112248ftttt，由于1,13t所以ft在(]1t??，单调递增，在13t,轹÷??ê÷ê滕单调递减，当13t时，11=39f骣琪琪桫，当1t时，13f，所以()19ft£故答案为：19纟ç-?úçú棼，．题型四：不等式的综合问题【解题方法总结】综合利用等式与不等式的性质例12．（多选题）（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知0a，0b，且满足41aab，51bba．则22ab的取值可以为（）A．10B．11C．12D．20【答案】CD【解析】因为41aab，51bba，所以24aab，25bba，故22459211abababbaba，当24aab，25bba且abba，而ab时22ab，即等号不能同时成立，所以2211ab，故AB错误，CD正确.故选：CD.例13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知2211xy，则（）A．1xyB．212xyC．1xxyD．254x