第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法（六大题型）（讲义）（原卷版）

第05讲一元二次不等式与其他常见不等式解法目录考点要求考题统计考情分析（1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式．（2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．（3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法．2020年I卷第1题，5分从近几年高考命题来看，三个“二次”的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中．1、一元二次不等式一元二次不等式20(0)axbxca，其中24bac，12,xx是方程20(0)axbxca的两个根，且12xx（1）当0a时，二次函数图象开口向上．（2）①若0，解集为21|xxxxx或．②若0，解集为|2bxxRxa且．③若0，解集为R．（2）当0a时，二次函数图象开口向下．①若0，解集为12|xxxx②若0，解集为2、分式不等式（1）()0()()0()fxfxgxgx（2）()0()()0()fxfxgxgx（3）()()0()0()0()fxgxfxgxgx（4）()()0()0()0()fxgxfxgxgx3、绝对值不等式（1）22()()[()][()]fxgxfxgx（2）()()(()0)()()()()fxgxgxfxgxfxgx或；()()(()0)()()()fxgxgxgxfxgx；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【解题方法总结】1、已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，（其中0mn），解关于x的不等式02abxcx．由02cbxax的解集为)(nm，，得：01)1(2cxbxa的解集为)11(mn，，即关于x的不等式02abxcx的解集为)11(mn，．已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，，解关于x的不等式02abxcx．由02cbxax的解集为)(nm，，得：01)1(2cxbxa的解集为)1[]1(，，mn即关于x的不等式02abxcx的解集为)1[]1(，，mn．2、已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，（其中0mn），解关于x的不等式02abxcx．由02cbxax的解集为)(nm，，得：01)1(2cxbxa的解集为)11(nm，即关于x的不等式02abxcx的解集为)11(nm，．3、已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，，解关于x的不等式02abxcx．由02cbxax的解集为)(nm，，得：01)1(2cxbxa的解集为)1[]1(，，nm即关于x的不等式02abxcx的解集为)1[]1(，，nm，以此类推．4、已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为R，则一定满足00a；5、已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为，则一定满足00a；6、已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为R，则一定满足00a；7、已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为，则一定满足00a．【典例例题】题型一：不含参数一元二次不等式的解法【解题总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x轴上，结合图象，写出其解集例1．（2023·上海金山·统考二模）若实数x满足不等式2320xx，则x的取值范围是__________.例2．（2023·高三课时练习）不等式21293xx的解集为______．例3．（2023·高三课时练习）函数223()23log32fxxxxx的定义域为______．例4．（2023·高三课时练习）不等式212302xx的解集为______．题型二：含参数一元二次不等式的解法【解题总结】1、数形结合处理．2、含参时注意分类讨论．例5．（2023·全国·高三专题练习）已知集合3112xAxx，集合2220Bxxaxa，若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围（）A．1,2B．1,2C．1,22D．1,22例6．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式2220xmxm的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（）A．6,7B．3,2C．3,26,7D．3,7例7．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式22100axaxa．例8．（2023·全国·高三专题练习）不等式22200axaxa的解集为（）A．2,1aB．11,aC．2,[1,)aD．2(,1],a题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式【解题总结】1、一定要牢记二次函数的基本性质．2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．例9．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式20axbxc的解集为{|1xx或4}x，则下列说法正确的是（）A．0aB．不等式20axcxb的解集为{|2727}xxC．0abcD．不等式0axb的解集为|3xx例10．（2023·全国·高三专题练习）已知实数ab，关于x的不等式210xabxab的解集为12,xx，则实数a、b、1x、2x从小到大的排列是()A．12axxbB．12xabxC．12axbxD．12xaxb例11．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式20axbxc的解集为3,1，则不等式20bxaxc的解集为（）A．1,2?B．()1,2-C．1,12D．3,12例12．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式20(0)xaxba的解集是|,xxd，则下列四个结论中错误的是（）A．24abB．214abC．若关于x的不等式20xaxb的解集为12xx（，），则120xxD．若关于x的不等式2xaxbc++的解集为12xx（，），且124xx，则4c例13．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式2240axbx的解集为4,mm，其中0m，则44bab的最小值为（）A．－2B．1C．2D．8题型四：其他不等式解法【解题总结】1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．2、根式不等式绝对值不等式平方处理．例14．（2023·北京海淀·统考一模）不等式102xx的解集为_________．例15．（2023·全国·高三专题练习）不等式的2902xx的解集是______例16．（2023·上海·高三专题练习）若不等式21x，则x的取值范围是____________．例17．（2023·上海浦东新·统考三模）不等式224xx的解集是__________．例18．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知集合2680,32,ZAxxxBxxx∣，则AB___________．题型五：二次函数根的分布问题【解题总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向．例19．（2023·全国·高三专题练习）方程2110mxmx在区间0,1内有两个不同的根，m则的取值范围为__．例20．（2023·全国·高三专题练习）已知方程22110xaxaa的两根分别在区间0,1，1,3之内，则实数a的取值范围为______．例21．（2023·全国·高三专题练习）若方程22460xkxx有两个不相等的实根，则k可取的最大整数值是______.例22．（2023·全国·高三专题练习）已知,,Rabc，2221,1abcabc，则c的取值范围为________.题型六：一元二次不等式恒成立问题【解题总结】恒成立问题求参数的范围的解题策略（1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论．例23．（2023·全国·高三专题练习）若不等式2221xxmxmx＋－－对xR恒成立，则实数m的取值范围是________．例24．（2023·全国·高三专题练习）若不等式221axxx对,0x恒成立，则a的取值范围是____________．例25．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式220axxa在区间0,4上有解，则实数a的取值范围是______.例26．（2023·全国·高三专题练习）若1,2x使关于x的不等式210xax成立，则实数a的取值范围是______．例27．（2023·全国·高三专题练习）若不等式2211xmx对任意1,1m恒成立，实数x的取值范围是_____.1．（2020·山东·统考高考真题）已知二次函数2yaxbxc的图像如图所示，则不等式20axbxc的解集是（）A．2,1B．,21,C．2,1D．,21,2．（2020·全国·统考高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}AxxxB，则AB（）A．{4,1}B．{1,5}C．{3,5}D．{1,3}3．（2018·全国·高考真题）已知集合220Axxx，则RAðA．12xxB．12xxC．|12xxxxD．|1|2xxxx