第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法（六大题型）（讲义）（解析版）

第05讲一元二次不等式与其他常见不等式解法目录考点要求考题统计考情分析（1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式．（2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．（3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法．2020年I卷第1题，5分从近几年高考命题来看，三个“二次”的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中．1、一元二次不等式一元二次不等式20(0)axbxca，其中24bac，12,xx是方程20(0)axbxca的两个根，且12xx（1）当0a时，二次函数图象开口向上．（2）①若0，解集为21|xxxxx或．②若0，解集为|2bxxRxa且．③若0，解集为R．（2）当0a时，二次函数图象开口向下．①若0，解集为12|xxxx②若0，解集为2、分式不等式（1）()0()()0()fxfxgxgx（2）()0()()0()fxfxgxgx（3）()()0()0()0()fxgxfxgxgx（4）()()0()0()0()fxgxfxgxgx3、绝对值不等式（1）22()()[()][()]fxgxfxgx（2）()()(()0)()()()()fxgxgxfxgxfxgx或；()()(()0)()()()fxgxgxgxfxgx；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【解题方法总结】1、已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，（其中0mn），解关于x的不等式02abxcx．由02cbxax的解集为)(nm，，得：01)1(2cxbxa的解集为)11(mn，，即关于x的不等式02abxcx的解集为)11(mn，．已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，，解关于x的不等式02abxcx．由02cbxax的解集为)(nm，，得：01)1(2cxbxa的解集为)1[]1(，，mn即关于x的不等式02abxcx的解集为)1[]1(，，mn．2、已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，（其中0mn），解关于x的不等式02abxcx．由02cbxax的解集为)(nm，，得：01)1(2cxbxa的解集为)11(nm，即关于x的不等式02abxcx的解集为)11(nm，．3、已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，，解关于x的不等式02abxcx．由02cbxax的解集为)(nm，，得：01)1(2cxbxa的解集为)1[]1(，，nm即关于x的不等式02abxcx的解集为)1[]1(，，nm，以此类推．4、已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为R，则一定满足00a；5、已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为，则一定满足00a；6、已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为R，则一定满足00a；7、已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为，则一定满足00a．【典例例题】题型一：不含参数一元二次不等式的解法【解题总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x轴上，结合图象，写出其解集例1．（2023·上海金山·统考二模）若实数x满足不等式2320xx，则x的取值范围是__________.【答案】1,2【解析】不等式2320xx，即120xx，解得12x，则x的取值范围是1,2.故答案为：1,2.例2．（2023·高三课时练习）不等式21293xx的解集为______．【答案】13【解析】解:由题知不等式为21293xx,即29610xx,即2310x,解得13x,所以解集为13.故答案为:13例3．（2023·高三课时练习）函数223()23log32fxxxxx的定义域为______．【答案】1,3【解析】要使函数有意义，则22230320xxxx，解得13x.所以函数的定义域为[1,3).故答案为：[1,3).例4．（2023·高三课时练习）不等式212302xx的解集为______．【答案】3535,44【解析】不等式212302xx即24106xx，24610xx的根为123535,44xx，故24106xx的解集为3535,44，即不等式212302xx的解集为3535,44，故答案为：3535,44题型二：含参数一元二次不等式的解法【解题总结】1、数形结合处理．2、含参时注意分类讨论．例5．（2023·全国·高三专题练习）已知集合3112xAxx，集合2220Bxxaxa，若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围（）A．1,2B．1,2C．1,22D．1,22【答案】A【解析】由3112xx得：31211022xxxx，212020xxx，解得：122x，1,22A；由2220xaxa得：20xxa；“xA”是“xB”的充分不必要条件，AB，当2a时，2,Ba，不满足AB；当2a时，B，不满足AB；当2a时，,2Ba，若AB，则需12a；综上所述：实数a的取值范围为1,2.故选：A.例6．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式2220xmxm的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（）A．6,7B．3,2C．3,26,7D．3,7【答案】C【解析】不等式2220xmxm即(2)()0xxm，当m2时，不等式解集为(2,)m，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是3,4,5,6，故67m，当2m时，不等式解集为，此时不符合题意；当2m时，不等式解集为(,2)m，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是2,1,0,1，故32m，，故实数m的取值范围为3,26,7，故选：C例7．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式22100axaxa．【解析】方程：221=0axax且0a22(2)440,aaa解得方程两根：2124,2aaxa22242aaxa；当0a时，原不等式的解集为：222424|;22aaaaxxxaa或当a0时，原不等式的解集为：222424|.22aaaaxxaa综上所述,当0a时，原不等式的解集为：222424|;22aaaaxxxaa或当a0时，原不等式的解集为：222424|.22aaaaxxaa例8．（2023·全国·高三专题练习）不等式22200axaxa的解集为（）A．2,1aB．11,aC．2,[1,)aD．2(,1],a【答案】A【解析】原不等式可以转化为：120xax≥，当a0时，可知2()(1)0xxa，对应的方程的两根为1，2a，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：2[,1]a.故选：A.题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式【解题总结】1、一定要牢记二次函数的基本性质．2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．例9．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式20axbxc的解集为{|1xx或4}x，则下列说法正确的是（）A．0aB．不等式20axcxb的解集为{|2727}xxC．0abcD．不等式0axb的解集为|3xx【答案】B【解析】因为关于x的不等式20axbxc的解集为{|1xx或4}x，所以a0，所以选项A错误；由题得014,3,414abbacaaca，所以20axcxb为2430,2727xxx.所以选项B正确；设2()fxaxbxc，则(1)0fabc，所以选项C错误；不等式0axb为30,3axax，所以选项D错误.故选：B例10．（2023·全国·高三专题练习）已知实数ab，关于x的不等式210xabxab的解集为12,xx，则实数a、b、1x、2x从小到大的排列是()A．12axxbB．12xabxC．12axbxD．12xaxb【答案】A【解析】由题可得：12xxab，121xxab.由ab，12xx，设1xam，则2xbm.所以212()()()1ambmabmbamabxx，所以2()1mbam，21mmba.又ab，所以0ba，所以0m.故1xa，2xb.又12xx，故12axxb.故选：A.例11．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式20axbxc的解集为3,1，则不等式20bxaxc的解集为（）A．1,2?B．()1,2-C．1,12D．3,12【答案】D【解析】20axbxc的解集是3,1，03131abaca，得2,3baca，则不等式220230bxaxcaxaxa，即2230xx，解得：312x，所以不等式的解集是3,12.故选：D例12．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式20(0)xaxba的解集是|,xxd，则下列四个结论中错误的是（）A．24abB．214abC．若关于x的不等式20xaxb的解集为12xx（，），则120xxD．若关于x的不等式2xaxbc++的解集为12xx（，），且124xx，则4c【答案】C【解析】由题意22404abab，，所以A正确;对于B:2222214424aaabaa，当且仅当224aa，即2a时成立,所以B正确;对于C,由韦达定理，可知21204axxb，所以C错误;对于D,由韦达定理，可知212124axxaxxbcc，，则21212124xxxxxx224244aacc，解得4c，所以D正确,故选：C.例13．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式2240axbx的解集为4,mm，其中0m，则44bab的最小值为（）A．－2B．1C．2D．8【答案】C【解析】由题意可知，方程2240axbx的两个根为m，4m，则44mma，解得：1a，故42mbm，0m，所以44224bmmmm，当且仅当4mm，即2m时取等号，则2b，所以44