第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（六大题型）（讲义）（教师版）

第02讲空间点、直线、平面之间的位置关系目录考点要求考题统计考情分析（1）借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．（2）了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．2023年上海卷第15题，5分2022年上海卷第15题，5分2022年I卷第9题，5分2021年乙卷（文）第10题，5分本节内容是高考命题的热点，重点关注异面直线的判定和成角问题、空间点线面的位置关系问题．对于空间几何体的点、线、面的位置关系，除了题目难度逐步提升，还增加了截面问题，对考生的空间想象能力要求有所提升，需要考生有更强大的逻辑推理能力．知识点一．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据（2）此推论是判定若干平面重合的依据（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．知识点二．直线与直线的位置关系位置关系相交（共面）平行（共面）异面图形符号abPa∥b,,aAbAb公共点个数100特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内知识点三．直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号llPl∥公共点个数无数个10知识点四．平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况．位置关系平行相交（但不垂直）垂直图形符号∥l，l公共点个数0无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上知识点五．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”例1．（2023·山西大同·高一校考期中）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且::1:2BGGCDHHC，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)EG与HF的交点在直线AC上．【解析】（1）BG：GCDH：1HC：2，//GHBD，E，F分别为AB，AD的中点，//EFBD，//EFGH，E，F，G，H四点共面．（2）G、H不是BC、CD的中点，//EFGH，且EFGH，EG与FH必相交，设交点为M，EG平面ABC，HF平面ACD，M平面ABC，且M平面ACD，平面ABC平面ACDAC，MAC，EG与HF的交点在直线AC上．例2．（2023·陕西西安·高一校考期中）（1）已知直线ab∥，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面；（2）如图，在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且13CFAEFBEB.求证：直线EH，BD，FG相交于一点.【解析】（1）证明：设直线l与a，b分别交于,MN点，如图1，因为ab∥，所以,ab确定一个平面，记为平面，因为点M直线a，点N直线b，所以M，N，所以直线MN，即l平面，所以过a，b，l有且只有一个平面；（2）在空间四边形ABCD中，连接,EFHG，因为,HG分别为,ADCD的中点，则//HGAC，且12HGAC，又由13CFAEFBEB，则//EFAC，且34EFAC，故//HGEF，且HGEF，故四边形EFGH为梯形，EH与FG交于一点，设EH与FG交于点P，如图2，由于EH平面ABD，点P在平面ABD内，同理点P在平面BCD内，又因为平面ABD平面BCDBD，所以点P在直线BD上，故直线,,EHBDFG相交于一点.例3．（2023·河南信阳·高一校联考期中）如图，在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1,ABAA上的点，且12,2AFFABEAE.(1)证明：1,,,ECDF四点共面；(2)设1DFCEO，证明：A，O，D三点共线.【解析】（1）证明：如图，连接11,,EFABDC.在正方体1111ABCDABCD中，12,2AFFABEAE，所以1EFAB∥，又11BCAD∥，且11BCAD，所以四边形11BCDA是平行四边形，所以11ABDC∥，1EFDC∥，所以1,,,ECDF四点共面；（2）证明：由1DFCEO，1ODF，又1DF平面11ADDA，O平面11ADDA，同理O平面ABCD，又平面11ADDA平面ABCDAD，OAD，即A，O，D三点共线.变式1．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且::1:2BGGCDHHC.求证：(1)E､F､G､H四点共面；(2)EG与HF的交点在直线AC上.【解析】（1）∵::BGGCDHHC，∴GHBD∥.∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EFBD∥，且12EFBD，∴EFGH∥，∴E，F，G，H四点共面.（2）∵G，H不是BC，CD的中点，∴12GHBD，∴EFGH，由（1）知EFGH∥，故EFHG为梯形.∴EG与FH必相交，设交点为M，∴EG平面ABC，FH平面ACD，∴M平面ABC，且M平面ACD，∴MAC，即GE与HF的交点在直线AC上.变式2．（2023·云南楚雄·高一统考期中）如图，在正四棱台1111ABCDABCD中，E，F，G，H分别为棱11AB，11BC，AB，BC的中点．(1)证明E，F，G，H四点共面；(2)证明GE，FH，1BB相交于一点．【解析】（1）证明：连接AC，11AC，如图所示，因为1111ABCDABCD为正四棱台，所以11//ACAC，又E，F，G，H分别为棱11AB，11BC，AB，BC的中点，所以11//EFAC，//GHAC，则//EFGH，所以E，F，G，H四点共面．（2）因为11ACAC，所以EFGH，所以EFHG为梯形，则EG与FH必相交．设EGFGP，因为EG平面11AABB，所以P平面11AABB，因为FH平面11BBCC，所以P平面11BBCC，又平面11AABBÇ平面111BBCCBB，所以1PBB，则GE，FH，1BB交于一点．变式3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1ABAA，的中点．(1)求证：1CEDFDA，，三线交于点P；(2)在（1）的结论中，G是1DE上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．【解析】（1）证明：连接1AB，1CD，EF正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1ABAA，的中点，∴1//EFAB且1EFAB，∵11//CDAB且11CDAB，∴1//EFCD且1EFCD，∴EC与1DF相交，设交点为P，∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD；又∵1PFD，1FD平面11ADDA，∴P平面11ADDA，∴P为两平面的公共点，∵平面ABCD平面11ADDAAD，∴PAD，∴1CEDFDA、、三线交于点P；（2）在（1）的结论中，G是1DE上一点，FG交平面ABCD于点H，则FH平面1PCD，∴H平面1PCD，又H平面ABCD，∴H平面1PCD平面ABCD，同理，P平面1PCD平面ABCD，E平面1PCD平面ABCD，∴P，E，H都在平面1PCD与平面ABCD的交线上，∴P，E，H三点共线．【解题方法总结】共面、共线、共点问题的证明（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．题型二：截面问题例4．（2023·全国·高三对口高考）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为23，动点P在对角线1BD上，过点P作垂直于1BD的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BPx，则当1,5x时，函数yfx的值域为（）A．36,66B．6,26C．0,6D．0,36【答案】A【解析】如图，连接11,,ABACCB，BD，1DD平面ABCD，AC平面ABCD，则1DDAC，又BDAC，1DDBDDI，BD平面1BDD，1DD平面1BDD，所以AC平面1BDD，又1BD平面1BDD，所以1ACBD，同理11BDAB，1ACABA，AC平面1ABC，1AB平面1ABC，所以1BD平面1ABC，因此平面与平面1ABC重合或平行，取1,,BABCBB的中点,,MNQ，连接,,MNNQQM，则//MNAC，1//MQAB，同理可证1BD平面MNQ，由于BMBNBQ，MNNQMQ，所以三棱锥BMNQ是正三棱锥，1BD与平面MNQ的交点P是MNQ△的中心，正方体棱长为23，则123262MN，236232PM，所以22(3)(2)1BP，所以(1)36f，由棱锥的平行于底面的截面的性质知，当平面从平面MNQ平移到平面1ACB时，()136fxx，即()36fxx，2616x，2x，显然(2)66f，平面过平面1ACB再平移至平面GHIJKL时，如图，把正方形1111DCBA沿11AB旋转到与正方形11ABBA在同一平面内，如图，则,,HIJ共线，由正方形性质得1HIIJHJAB，同理1JKKLBC，LGGHAC，因此此种情形下，截面GHIJKL的周长与截面1ACB的周长相等，平移平面，一直到平面11ACD位置处，由正方体的对称性，接着平移时，截面周长逐渐减少到(5)(1)36ff，综上，()fx的值域是[36,66]．故选：A.例5．（2023·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，E，F，G分别为线段11,,BCCCBB上的动点（不含端点），①异面直线1DD与AF所成角可以为π4②当G为中点时，存在点E，F使直线1AG与平面AEF平行③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为98④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等则上述结论正确的是（）A．①③B．②④C．②③D．①④【答案】C【解析】对①：因为1DD//1AA，故1DD与AF的夹角即为1AA与AF的夹角1AAF，又当F与C重合时，1AAF取得最大值，为π2；当F与点1C重合时，1AAF取得最小值，设其为，则111tan2ACAA，故π4；又点F不能与1,CC重合，故1ππ,,24AAF，故①错误；对②：当G为1BB中点时，存在,EF分别为1,BCCC的中点，满足1AG//面AEF，证明如下：取11BC的中点为M，连接1,AMMG，如下所示：显然1AM//AE，又AE面1,AEFAM面AEF，故1AM//面AEF；又易得MG//EF，EF面,AEFMG面AEF，故MG//面AEF；又11,,AMMGMAMMG面1AMG，故