第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（练习）（教师版）

第02讲空间点、直线、平面之间的位置关系（模拟精练+真题演练）1．（2023·福建宁德·校考二模）在长方体1111ABCDABCD中，1AD和1CD与底面所成的角分别为30和45，则异面直线1AD和11BD所成角的余弦值为（）A．34B．24C．34D．54【答案】C【解析】由题意，可作图如下：则145ADAo，130DCDo，设1AD，在1ADA△中，易知11AAAD，在1DDC△中，111DDAA，1DDCD，13tan30DDCDo，在长方体1111ABCDABCD中，易知11//DBDB，则1ADB为异面直线1AD与11BD的夹角或其补角，在Rt△ABD中，222ADABBD，则2BD，同理可得12AD，12AB，由余弦定理，则22211114242cos24222ADBDABADBADBD.故选：C.2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知正方体1111ABCDABCD，棱长为1，E，F分别为棱AB，1CC的中点，则（）A．直线1AD与直线EF共面B．1AE不垂直于AFC．直线1AE与直线BF的所成角为60°D．三棱锥1CADF的体积为112【答案】D【解析】如图，以D为原点，以DA，DC，1DD所在直线分别为x，y，z建立空间直角坐标系，则0,0,0D，1,0,0A，1,1,0B，0,1,0C，10,0,1D，11,0,1A，11,1,1B，10,1,1C，11,,02E，10,1,2F，对于A，假设直线1AD与直线EF共面，∵平面11//ABBA平面11DCCD，平面1AEFD平面11ABBAAE，平面11DCCD平面111ABBADF，∴1//AEDF，∵11//AECD，∴111//CDDF，矛盾，∴直线1AD与直线EF不共面，A错误；对于B，∵110,,12AE，11,1,2AF，∴1110022AEAF，∴1AEAF，∴1AEAF，B错误，对于C，设直线1AE与直线BF所成的角为，∵110,,12AE，11,0,2BF，∴1111212coscos,52111144AEBFAEBFAEBF，∴60，∴C错误，对于D，∵AD平面11DCCD，∴1111111111332212CADFACDFCDFVVSAD，D正确．故选：D．3．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，4AB，4AC，42BC，6PA，D为PB的中点，则异面直线AD与PC所成角的余弦值为（）A．21515B．5312C．514D．913【答案】D【解析】如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE，则//DEPC，ADE或其补角即为异面直线AD与PC所成的角．由4AB，4AC，42BC，则有222ABACBC，所以ABAC，E为BC的中点，则22AE，PA平面ABC，RtPAC△中，223616213PCPAAC，∴1132DEPCRtPAB中，223616213PBPAAB，∴13DA，在ADEV中，根据余弦定理可得222131389cos221313ADDEAEADEADDE．所以异面直线AD与PC所成角的余弦值为913.故选：D4．（2023·北京海淀·北航实验学校校考三模）已知正方体1111ABCDABCD中，点M为线段11DB上的动点，点N为线段AC上的动点，则与线段1DB相交且互相平分的线段MN有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【答案】B【解析】在正方体1111ABCDABCD中，11MDB，而11DB平面11DBD，即有M平面11DBD，又MN与线段1DB相交，则交点必在直线1DB上，而1DB平面11DBD，于是MN平面11DBD，N平面11DBD，因为NAC，AC平面ABCD，即N平面ABCD，而平面11DBD平面ABCDBD，因此NBD，即点N为,ACBD的交点O，又线段1DB与MN互相平分，取1DB的中点E，连接OE并延长交11DB于1O，显然11////EOBBDD，于是1O为11DB的中点，所以当点N与O重合，点M与1O重合时，MN与线段1DB相交且互相平分，这样的直线MN只有1条.故选：B5．（2023·广东汕头·统考二模）已知，，是三个平面，a，b，c，且abO，则下列结论正确的是（）A．直线b与直线c可能是异面直线B．直线a与直线c可能平行C．直线a，b，c必然交于一点（即三线共点）D．直线c与平面可能平行【答案】C【解析】ABC选项，因为a，b，abO，所以,,OOO，因为c，所以Oc，所以直线a，b，c必然交于一点（即三线共点），AB错误，C正确；D选项，假设直线c与平面平行，假设直线c与平面α平行，由Oc，可知O，这与O矛盾，故假设不成立，D错误.故选：C6．（2023·陕西延安·校考一模）在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱111ABCABC-展开，得到的平面图如图所示．其中4AB，3AC，15BCAA，M是1BB上的点，则在直三棱柱111ABCABC-中，下列结论错误的是（）A．AM与11AC是异面直线B．1ACAMC．平面1ABC将三棱柱截成一个五面体和一个四面体D．1AMMC的最小值是226【答案】D【解析】由题设，可得直三棱柱，如图．由直三棱柱的结构特征知:11//,ACAC而,ACAM是相交直线，所以AM与11AC是异面直线，A项正确；因为4AB，3AC，2225,BCABACBC,所以BAAC，又1,AAAC，且1AABAA，1,AABA平面11AABB，所以AC平面11AABB，又1AM平面11AABB，故1,ACAMB正确；由图知，平面1ABC将三棱柱截成四棱锥111BACCA和三棱锥1BABC，一个五面体和一个四面体，C项正确；将平面11AABB和平面11CCBB展开，展开为一个平面，如图，当1,,AMC共线时，1AMMC的最小值为106，D错误．故选：D7．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在长方体1111ABCDABCD中，直线1AC与平面11ABD的交点为,MO为线段11BD的中点，则下列结论错误的是（）A．,,AMO三点共线B．1,,,MOAB四点异不共面C．1,,,BBOM四点共面D．1,,,BDCM四点共面【答案】C【解析】因为11//AACC,则11,,,AACC四点共面.因为1MAC,则M平面11ACCA,又M平面11ABD,则点M在平面11ACCA与平面11ABD的交线上,同理,OA、也在平面11ACCA与平面11ABD的交线上,所以,,AMO三点共线;从而1,,,MOAA四点共面,都在平面11ACCA内，而点B不在平面11ACCA内，所以1,,,MOAB四点不共面，故选项B正确；1,,,BBO三点均在平面11BBDD内，而点A不在平面11BBDD内，所以直线AO与平面11BBDD相交且点O是交点，所以点M不在平面11BBDD内，即1,,,BBOM四点不共面，故选项C错误；11BCDA，且11=BCDA，所以11BCDA为平行四边形，所以11,CABD共面，所以1,,,BDCM四点共面，故选项D正确.故选:C.8．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）1111ABCDABCD为棱长为2的正方体，点MN、分别为1AA，11CD的中点，给出以下命题：①直线MC与NB是异面直线；②点M到面NBC距离为2；③若点MNC、、三点确定的平面与AB交于点P，则1AP，正确命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】对①，由图可知，M不在平面NCB内，故直线MC与NB是异面直线，故①正确；对②，取11AB的中点Q，过M作MEBQ，连接NQ，由1111ABCDABCD为2的正方体，N是11CD的中点，可得NQ平面11ABBA，因为ME平面11ABBA，所以NQME，因为MEBQ，NQME，BQ，NQ平面BNQ，所以ME平面BNQ，故ME即为点M到面BNQ距离，又//NQBC，所以,,,NQBC四点共面，所以ME即为点M到面NBC距离，由条件可求，2MQ，5BQ，5BM，所以22225510cos210225MQBQBMMQEMQBQ，所以310sin10MQE，因为31035sin2105MEMQMQE，所以点M到面NBC距离为355，故②错误；对③，如图，将面MNC扩展，取1AGBF，则2GFAB，取GF的中点O，连接MO，则MO与AB的交点即为点MNC、、三点确定的平面与AB的交点P，因为1MAAG，所以A为MG的中点，又//ABGF，所以1122APGO，故③错误.故选：B.9．（多选题）（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）下列命题正确的有（）A．空间中两两相交的三条直线一定共面B．已知不重合的两个平面,，则存在直线,ab，使得,ab为异面直线C．有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱D．过平面外一定点P，有且只有一个平面与平行【答案】BD【解析】对于A，空间中两两相交的三条直线交于同一点时，可能共面也可能不共面，A错误；对于B，不重合的两个平面,，可能平行或者相交，不论是平行还是相交，都存在直线,ab，使得,ab为异面直线，B正确；对于C，如图示几何体满足两个平面平行，其他各个面都是平行四边形，但该几何体不是棱柱，C错误；对于D，由于过平面外一定点P，有且只有一条直线m与平面垂直，过点P有且只有一个平面与m垂直，则∥，故过平面外一定点P，有且只有一个平面与平行，D正确，故选：BD10．（多选题）（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知空间中的平面，直线l，m，n以及点A，B，C，D，则以下四个命题中，不正确的命题是（）A．在空间中，四边形ABCD满足ABBCCDDA，则四边形ABCD是菱形.B．若l，Al，则AÏ.C．若m，n，Am，Bn，Al，Bl，则l.D．若l和m是异面直线，n和l是平行直线，则n和m是异面直线.【答案】ABD【解析】对于A项，正四面体ABCD的各条棱长均相等，四边形ABCD为空间四边形，不是菱形，故A项错误；对于B项，若l，则//l或l与相交，所以A或A（此时A为l与的交点），故B项错误；对于C项，由已知可得，A，B，即直线l上有两个点在平面内，根据基本事实2可知l，故C项正确；对于D项，如图正方体1111ABCDABCD中，11AB和BC异面（,lm是异面直线），11//ABAB（//ln），但是ABBCB（,mn相交），故D项错误.故选：ABD.11．（多选题）（2023·广东湛江·校考模拟预测）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，M为底面ABCD的中心，111DQDA，0,1，N为线段AQ的中点，则（）A．CN与QM共面B．三棱锥ADMN的体积跟的取值无关C．13时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为422134D．14时，AMQM【答案】ABC【解析】在ACQ中，因为,MN为,ACAQ的中点，所以//MNCQ，所以CN与QM共面，所以A正确；由ADMNNADMVV，因为N到平面ABCD的距离为定值12，且ADM的面积为定值14，所以三棱锥ADMN的体积跟的取值无关，所以B正确；当13时，过,,AQM三点的正方体的截面ACEQ是等腰梯形，所以