第04讲 直线、平面垂直的判定与性质（五大题型）（讲义）（教师版）

第04讲直线、平面垂直的判定与性质目录考点要求考题统计考情分析（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．（2）掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．2022年乙卷（文）第9题，5分2022年乙卷（文）第18题，12分2021年浙江卷第6题，4分2021年II卷第10题，5分选择题、填空题中考查直线、平面位置关系判断；解答题第一问中多考查平行、垂直的证明．证明一些空间位置关系，利用性质定理、判定定理探究平行、垂直位置关系的存在性问题．知识点1：直线与平面垂直的定义如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直,aballblabP面⊥面⇒线⊥面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直abbba平行与垂直的关系一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直//aa平行与垂直的关系两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直//abba知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行////aaabb文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行//aa线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直,lala知识点4：平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若,CDCD，且,,ABBEABBE，则）__a__b_a_b_a_一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直bb知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直abbba【解题方法总结】线线线面面面（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质(,)abab；⑦平行线垂直直线的传递性（,//acabbc）．（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；判定定理性质定理判定定理性质定理___a②线面垂直的判定（,,,,abaccbbcPa）；③面面垂直的性质（,,,babaa）；平行线垂直平面的传递性（,//abab）；⑤面面垂直的性质（,,ll）．（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（,aa）．空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置．题型一：垂直性质的简单判定例1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若,mnn∥，则mB．若,m∥，则mC．若,,mnn，则mD．若,,mnn，则m【答案】D【解析】当mn，//n时，可能有m，但也有可能//m或m，故A选项错误；当//m，时，可能有m，但也有可能//m或m，故选项B错误；在如图所示的正方体1111ABCDABCD中，性质性质性质性质性质判定判定判定判定判定线∥面线∥线面∥面线⊥面线⊥线面⊥面取m为11BC，n为1CC，为平面ABCD，为平面11ADDA，这时满足mn，n，，但m不成立，故选项C错误；当m，n，n时，必有//，从而m，故选项D正确；故选：D.例2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（）A．若//l，且//m，则lmB．若，//m，n，则//mnC．若//ml，且m，则lD．若mn，m，//n，则【答案】C【解析】对于选项A：若//l，且//m，则l，m可能平行、相交或异面，并不一定垂直，故A错误；对于选项B：若，//m，n，则m，n可能平行、相交或异面，并不一定平行，故B错误；对于选项C：若//ml，且m，根据线面垂直可得：l，故C正确；对于选项D：若mn，m，但不能得到n，所以虽然//n，不能得到，故D错误；故选：C.例3．（2023·陕西咸阳·统考二模）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：①若m∥n，n，则m∥，②若m，m，则，③若m，m，则∥，④若，m，n，则mn其中正确的命题是（）A．②③B．②④C．①③D．①②【答案】A【解析】对于①，当m∥n，n时，m∥或m，所以①错误，对于②，当m，m时，由面面垂直的判定定理可得，所以②正确，对于③，当m，m时，有∥，所以③正确，对于④，当，m，n时，如图所示，m∥n，所以④错误，故选：A变式1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知,是两个不同的平面，,mn是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若,,mmn，则nB．若,,mn∥，则mn∥C．若,,mnmn，则D．若,,∥∥mmnn，则【答案】D【解析】对于A，可能会出现,nn∥，或n与相交但不垂直的情况，所以A不正确；对于B，,mn可能平行、可能异面，所以B不正确；对于C，若∥，仍然满足,mn且mn，所以C不正确；对于D，,//mmn，则n，再由//n，可得,可知D正确.故选：D.变式2．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）如图所示的菱形ABCD中，2,60,ABBAD对角线,ACBD交于点O，将ABD△沿BD折到ABD位置，使平面ABD平面BCD.以下命题:①BDAC；②平面AOC平面BCD；③平面ABC平面ACD；④三棱锥ABCD体积为1.其中正确命题序号为（）A．①②③B．②③C．③④D．①②④【答案】D【解析】如图：因为四边形ABCD是菱形，60BAD，所以ABADBCCDBD，O为BD的中点，所以BDAO，BDCO，AOCOO，,AOCO面AOC，所以BD面AOC，又AC面AOC，所以BDAC，即①正确；由①知BD面AOC，又BD面BCD，所以平面AOC平面BCD，即②正确；如图：取AC的中点为E，连接BE，DE，依题意，ABBCADCD，所BEAE，DEAC，所以BED是二面角BACD的平面角，又因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BDAO所以AO面BCD，ABD和BCD△是边长为2的正三角形，所以22213AOOC，且有AOOC，所以在RtAOC△中，6AC，又ABC和ADC△是两全等的等腰三角形，2ABBCADCD，AC的中点为E，所以226102()22BEDE，由已知可得BCD△是边长为2的正三角形，得2BD，则在BDE△中，容易算得2BD，102BEDE，222BDBEDE，所以90BED，所以二面角BACD不是直二面角，故③错误；由已知可得BCD△是边长为2的正三角形，又由上得AO面BCD，所以三棱锥ABCD的高即为AO，3AO，BCD△是边长为2的正三角形，所以三棱锥ABCD的体积为111322313322BCDSAO，故④正确.故选：D.变式3．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知l，m，n是三条不同的直线，，是不同的平面，则下列条件中能推出的是（）A．l，m，且lmB．l，m，n，且lm，lnC．m，n，//mn，且lmD．l，//lm，且m【答案】D【解析】对于A，l，m，且lm，，可以平行、相交不垂直、垂直，A不正确；对于B，l，m，n，且lm，ln，当,mn不相交时，l不一定与垂直，则不一定与垂直，B不正确；对于C，m，n，//mn，且lm，显然直线l与,无关系，，可以平行、相交不垂直、垂直，C不正确；对于D，由//lm，m，得l，又l，根据面面垂直的判定知，D正确．故选：D【解题方法总结】此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．题型二：证明线线垂直例4．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABCABC-中，ABBC，11ABBC．(1)证明：1ACBB；【解析】（1）取AC的中点D，连接BD，1BD，ABBC，11ABBC，ACBD，1ACBD，又1BDBDD，1,BDBD平面1BBD，AC平面1BBD，而1BB平面1BBD，1ACBB；例5．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面,2ABCDPAADAB，点M是PD的中点.(1)证明：AMPC；【解析】（1）证明：因为PAAD，点M是PD的中点，所以AMPD.因为PA平面,ABCDPA平面PAD，所以平面PAD平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD，因为平面PAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，所以CD平面PAD，所以CDAM，因为PDCDD，,PDCD平面PCD，所以AM平面PCD，因为PC平面PCD，所以AMPC.例6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱111ABCABC-中，1112,2,90,ABACAAABACBACE是BC的中点，F是线段11AC上一点.(1)求证：ABEF；【解析】（1）证明：连接11,,AEAEEC90BAC，2ABAC，E是BC的中点AEBC1222,22BCABAEBEECBC1112AAABAC，E是BC的中点1AEBC，2211422AEABBE22211AAAEAE，1AEAE,,AEBCEAEBC平面ABC1AE平面ABC，AB平面ABC，1AEAB，在三棱柱111ABCABC-中，11//ACAC，ABAC，11ABAC，1111AEACA，111,AEAC11ACEAB平面11ACE，EF平面11ACE，ABEF．变式4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成的平面图形，ADBC∥，ADAB，112ADABBC．E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面PCD平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2．(1)求证：BDPD；【解析】（1）如下图，过点D作DFBC交BC于点F，连结BD，因为AD