重难点突破01 玩转外接球、内切球、棱切球（二十三大题型）（教师版）

重难点突破01玩转外接球、内切球、棱切球目录知识点一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体PABC可以补形为正方体且正方体的棱长2PAa，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4知识点二：正四面体外接球如图，设正四面体ABCD的的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为22a，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为236224Raa，即正四面体外接球半径为64Ra．知识点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD中，ABCDm，ACBDn，ADBCt，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为,,abc，则222222222bcmacnabt，三式相加可得222abc222,2mnt而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则22224abcR，所以2228mntR．知识点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心O的位置，1O是ABC的外心，则1OO平面ABC；第二步：算出小圆1O的半径1AOr，111122OOAAh（1AAh也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211OAOAOO222()2hRr22()2hRr，解出R知识点五：直棱锥外接球如图，PA平面ABC，求外接球半径．解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：1O为ABC的外心，所以1OO平面ABC，算出小圆1O的半径1ODr(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2sinsinsinabcrABC)，112OOPA；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222(2)(2)RPAr222(2)RPAr；②2221RrOO221RrOO．知识点六：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：222rhRh．图3-1C1B1AEFA1O1OO2BC图3-2C1B1AA1O1OO2BC图3-3C1B1AEFA1O1OO2BC图5ADPO1OCB2、侧棱相等模型：如图，P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,,POO三点共线；第二步：先算出小圆1O的半径1AOr，再算出棱锥的高1POh（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：22211OAOAOO222()RhRr，解出222rhRh．知识点七：侧棱为外接球直径模型方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．知识点八：共斜边拼接模型如图，在四面体ABCD中，ABAD，CBCD，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，BD为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点O为公共斜边BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OAOCOBOD，即点O到A，B，C，D四点的距离相等，故点O就是四面体ABCD外接球的球心，公共的斜边BD就是外接球的一条直径．hlrDCBA图5-1PAO1OCB知识点九：垂面模型如图1所示为四面体PABC，已知平面PAB平面ABC，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为1O和2O．（2）分别过1O和2O作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．（3）过1O作AB的垂线，垂足记为D，连接2OD，则2ODAB．（4）在四棱锥12ADOOO中，AD垂直于平面12DOOO，如图2所示，底面四边形12DOOO的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．图1图2知识点十：最值模型这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等知识点十一：二面角模型如图1所示为四面体PABC，已知二面角PABC大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为1O和2O．（2）分别过1O和2O作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．（3）过1O作AB的垂线，垂足记为D，连接2OD，则2ODAB．（4）在四棱锥12ADOOO中，AD垂直于平面12DOOO，如图2所示，底面四边形12DOOO的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．知识点十二：坐标法对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为(,,)Oxyz，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．知识点十三：圆锥圆柱圆台模型1、球内接圆锥如图1，设圆锥的高为h，底面圆半径为r，球的半径为R．通常在△OCB中，由勾股定理建立方程来计算R．如图2，当PCCB时，球心在圆锥内部；如图3，当PCCB时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图2、图3可知，OChR或Rh，故222()hRrR，所以222hrRh．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为r，高为h，其外接球的半径为R，三者之间满足22()2hrR．3、球内接圆台2222222122rrhRrh，其中12,,rrh分别为圆台的上底面、下底面、高．知识点十四：锥体内切球方法：等体积法，即3体积表面积VRS知识点十五：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形题型一：外接球之正方体、长方体模型例1．（2023·云南昆明·高一校考期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为【答案】48π【解析】设正方体的棱长为a，因为正方体的表面积为96，可得2696a，解得4a，则正方体的对角线长为22244443l，设正方体的外接球的半径为R，可得243R，解得23R，所以外接球的表面积为224π4π(23)48πSR.故答案为：48π.例2．（2023·吉林·高一校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为3，则球的表面积为．【答案】9【解析】该球为正方体外接球，其半径R与正方体棱长a之间的关系为23Ra，由3a，可得32R，所以球的表面积249SR.答案：9例3．（2023·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球O表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4则球O的表面积是【答案】29π【解析】由题意可知：长方体的长宽高为2，3，4，所以长方体的体对角线长为：22223429，故长方体的外接球的半径为292，球的表面积为：2294π29π2，故答案为：29π变式1．（2023·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）长方体1111ABCDABCD的外接球的表面积为25，3AB，6AD，则长方体1111ABCDABCD的体积为.【答案】122【解析】因为长方体1111ABCDABCD的外接球的表面积为25，设球的半径为R，由题意2425R，52R，25R，长方体1111ABCDABCD的外接球的一条直径为222115ACABADAA.因为3AB，6AD，所以21365AA，14AA，则长方体1111ABCDABCD的体积为1122ABADAA.故答案为：122变式2．（2023·天津静海·高一校考期中）在长方体1111ABCDABCD中，6AB，23BC，14BB，则长方体外接球的表面积为．【答案】64π【解析】由题意，根据长方体1111ABCDABCD外接球的性质，可得2222221262348RABBCBB，4R，该长方体的外接球的表面积2464SR.故答案为：64π.题型二：外接球之正四面体模型例4．（2023·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为23，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为．【答案】3π2【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a，所以该正四面体的表面积为22214322aSaaa，所以2a，又正方体的面对角线可构成正四面体，若正四面体棱长为2，可得正方体的棱长为1，所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为3，半径为32，所以球O的体积为3π2．故答案为：3π2例5．（2023·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是．【答案】26【解析】如图所示：因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为1111ABCDABCD，则正四面体为11ACBD，设球的半径为R，则2436R，解得3R，所以16AC则正方体的棱长为23，所以正四面体的棱长为126AD，故答案为：26例6．（2023·全国·高三专题练习）棱长为2的正四面体的外接球体积为.【答案】32【解析】如图，棱长为2的正四面体可以嵌入到棱长为1的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的立方体的外接球相同.设立方体的外接球半径为R，则32R，所以立方体外接球的体积3344333322VR.故正四面体的外接球体积为32.故答案为：32变式3．（2023·全国·高一假期作业）正四面体PBDE和边长为1的正方体1111ABCDABCD有公共顶点B，D，则该正四面体PBDE的外接球的体积为.【答案】32【解析】由图可知正四面体PBDE的外接球的体积等于正方体1111ABCDABCD的外接球的体积，求正方体外接球体积即可．如图，由题可得正四面体PBDE与正四面体11ABDC全等，所以正四面体PBDE的外接球的体积等于正四面体11ABDC的外接球的体积，也即是正方体1111ABCDABCD的外接球的体积，因为正方体棱长为1，所以外接球直径为1113，所以正方体1111ABCDABCD的外接球的体积为：3433322，所以正四面体PBDE的外接球的体积为32．故答案为：32．变式4．（2023·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）正四面体PABC中，其侧面积与底面积之差为23，则该正四面体外接球的体积为.【答案】6【解析】设正四面体PABC的边长为a，则该正四面体每个面的面积为234a，正四面体PABC的侧面积与底面积之差为222333323442aaa，解得2a.如下图所示：过点P作PD平面ABC，垂足为点D，连接AD，可知外接球球心O在PD上，设球O的半径为R，ABC的外接圆半径为2232sin603AD，22263PDPAAD，由图可知，222ODADOA+=，即2226433RR，解得62R.因此，正四面体PABC的外接球体积为346632V.故答案为：6.题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型例7．（2023·高一单元测试）在四面体ABCD中，若3ABCD，2ACBD，5ADBC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】由题意