第04讲 直线、平面垂直的判定与性质（练习）（教师版）

第04讲直线、平面垂直的判定与性质（模拟精练+真题演练）1．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学校考三模）已知不重合的平面、、和直线l，则“//”的充分不必要条件是（）A．内有无数条直线与平行B．内的任何直线都与平行C．且D．l且l【答案】D【解析】对于A选项，若内有无数条直线与平行且这无数条直线是平行直线，则、平行或相交，即“内有无数条直线与平行”“//”，A不满足；对于B选项，由面面平行的定义可知，“内的任何直线都与平行”“//”，B不满足；对于C选项，若且，则、平行或相交，则“且”“//”，C不满足；对于D选项，由线面垂直的性质可知，若l且l，则//，反之，若//，则“l且l”不一定成立，故“l且l”是“//”的充分不必要条件，D满足.故选：D.2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知,,mnl是三条不同的直线，,,是三个不重合的平面，则下列说法错误的是（）A．若,,mmn，则n．B．若m与n异面，,lmln，则存在，使得,//,//lmn．C．若,,l，则l．D．若//,//,mn，则mn．【答案】D【解析】对选项A，若,mm，则//，又n，∴n．选项A正确；对选项B，在l上取点Q，分别作,mn的平行线,mn，这两条相交直线确定平面，因为//,,mmmm，则//m，同理可证//n，因为,,//,//lmlnmmnn，所以,lmln，又因为mnQ，,mn，所以l，故B正确；对选项C，设,ab，在平面内任取一个不在直线,ab上的点P，过点P作直线,PAaPBb，垂足分别为点,AB．又因为PA，PB，,，,PAPB，又,ll，故,lPAlPB，又因为,,PAPBPPAPB平面，从而l．故选项C正确；对选项D，直线,mn的位置关系可以是任意的，比如设l，n且//nl，m，//ml，则根据平行的传递性知//mn，故D错误.故选：D.3．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知四棱柱1111ABCDABCD的底面ABCD为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱1DD上的点，且112,3,1DPPDAAAB.若点Q在侧面11BCCB（包括其边界）上运动，且总保持AQBP，则动点Q的轨迹长度为（）A．3B．2C．233D．52【答案】D【解析】如图，在侧棱1AA上取一点R，使得12ARRA，连接,PRBR，过点A作ANBR交BR于点M，交1BB于点N，连接,ACCN，由PRAD∥，可知PRAN^，BRPRÌ、平面BPR，BRPRR=，从而AN平面BPR，所以BPAN，又由BP在平面ABCD内的射影BDAC，所以BPAC，ANACÌ、平面ACN，ANACA，知BP平面ACN，平面ACN，CN所以BPCN，所以动点Q的轨迹为线段CN，在,RtABNRtRAB中，BANARB??，所以RtABRtRAB，则BNABABAR=，得12BN易得222215122CNBNBC.故选：D4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，给出以下三个结论：①若PD的中点为E，则PB∥平面ACE；②若PA平面ABCD，则平面PCD平面PAD；③若PA平面ABCD，则线段PC是四棱锥PABCD外接球的直径.则关于这三个结论叙述正确的是（）A．①对，②③错B．①②对，③错C．①错，②③对D．①②③都对【答案】D【解析】①正确，连接BD交AC于G，连接EG，则在PBD△中，EGPB∥，而EG平面ACE，PB平面ACE，则PB∥平面ACE；②正确，因为PA平面ABCD，得PAAB，又由于ADAB，所以AB平面PAD，又ABCD∥，所以CD平面PAD，而CD平面PCD，故平面PCD平面PAD；③正确，由于PA平面ABCD，将四棱锥还原成长方体，知PC为该长方体的体对角线，故PC为四棱锥PABCD外接球的直径.故选：D.5．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，EF、分别为边ADBC、上的点，且3ADAE，3BCBF，设PQ、分别为线段AFCE、的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能．．成立的是（）A．直线//AB直线CDB．直线AB直线PQC．直线//PQ直线EDD．直线//PQ平面ADE【答案】C【解析】翻折之后如图所示：①因为3ADAE，3BCBF，所以//ABEF且//EFCD，因此//ABCD，故选项A成立；②连接FD，因为PQ、分别为FAFD、的中点，所以//PQAD，又因为ABAD，所以ABPQ，故选项B成立；③因为//PQAD，EDADD，所以PQ与ED不平行，故选项C不成立；④因为//PQAD，且PQ平面ADE，AD平面ADE，所以//PQ平面ADE，故选项D成立.故选：C6．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在正方体1111ABCDABCD中，,,LMN分别为棱111,,ABADCC的中点，则平面LMN与平面1CBD的位置关系是（）A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合【答案】A【解析】设棱111,AABC的中点分别为,PQ，连接,,,,,LPLMPMLQQNLN，连接1111,,,BCBCBDCD，如图所示，正方体中，11CD平面11BCCB，1CB平面11BCCB，111CDCB，正方形11BCCB中，11BCCB，1111BCCDC，111,BCCD平面11BCD，1CB平面11BCD，1BD平面11BCD，∴11BDCB，,QN分别为棱111,BCCC的中点，，1//NQCB，∴1BDNQ，同理可证1BDLQ，,NQLQ平面NQL，NQLQQ，∴1BD平面NQL，LN平面NQL，∴1BDLN，同理可证1BDLM，,LMLN平面LMN，LMLNL，∴1BD平面LMN，1BD平面1CBD，故平面1CBD平面LMN.故选：A.7．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）圆锥1OO的底面半径为1，母线长为2，OAB是圆锥1OO的轴截面，F是OA的中点，E为底面圆周上的一个动点（异于A、B两点），则下列说法正确的是（）A．存在点E，使得EFEBB．存在点E，使得//EFOBC．三棱锥FABE体积最大值为36D．三棱锥1FAOE体积最大值为36【答案】C【解析】根据题意可知，如下图所示：对于A，因为AB圆1O是直径，所以AEEB，假设存在点E，使得EFEB，又因为AEEFE，AE、EF平面AOE，所以EB平面AOE，又因为OE平面AOE，所以EBOE，又因为OB、OE都是圆锥1OO的母线，即OBOE，所以EBOE不成立，所以不存在点E，使得EFEB，即A错误；对于B，因为F是OA的中点，1O是AB的中点，所以1//OFOB，若存在点E，使得//EFOB，所以1//EFOF，这与1EFOFF矛盾，所以B错误；对于C，易知三棱锥FABE的高为2222111113212222OOOBOB，所以当底面积ABES最大时，其体积最大，又因为22242AEBEABAEBE，所以2AEBE，当且仅当2AEBE时等号成立，所以112ABESAEBEV，即三棱锥FABE的体积133326ABEVSV，即三棱锥FABE的体积的最大值为36，所以，C正确；对于D，因为F、1O分别为AO、AB的中点，则1113322612FAOEFABEVV，即三棱锥1FAOE体积最大值为312，所以，D错误.故选：C.8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，,EF分别为棱111,ADAA的中点，G为线段1BC上一个动点，则下列说法不正确的是（）A．存在点G，使直线1BC平面EFGB．存在点G，使平面EFG//平面1BDCC．三棱锥1AEFG的体积为定值D．平面EFG截正方体所得截面的最大面积为334【答案】B【解析】对于A项，如图所示，取111BCBB、的中点H、I，连接HI交1BC于G点，此时EH//11AB，由正方体的性质可得1EHBC，1HIBC，,,EHHIHEHHI平面EFG，所以1BC平面EFG，故A正确；对于B项，如图所示，连接1ADEFP，H为侧面1CB的中心，则面11ADCB与面EFG和面1BDC分别交于线PG、DH，若存在G点使平面//EFG平面1BDC，则//PGDH，又11//ADCB，则四边形PGHD为平行四边形，即PDGH，而122PDBH，此时G应在1CB延长线上，故B错误；对于C项，随着G移动但G到面1AEF的距离始终不变即11AB，故1111111324AEFGGAEFAEFVVABS是定值，即C正确；对于D项，若G点靠C远，如图一所示，过G作//QREF，即截面为四边形EFQR，当截面在正方体底面上的投影面积越大，其面积就越大，如下图，显然当R在底面的投影为C点时，截面为四边形EFQR面积最大，此时G为侧面1CB的中心，最大值为98，若G靠C近时（图二），G作//KJEF，延长EF交1DD、DA延长线于M、H，连接MK、HJ交11DC，AB于,LI，则截面为六边形EFIJKL，当截面在正方体底面上的投影面积越大，其面积就越大，如下图，六边形EFIJKL在正方体底面的投影为六边形222222EFIJKL，设222222221,,KLEFxFIKJx所以222222222111=11222EFIJKLSxxxx，当12x时，222222EFIJKLS取得最大值.设则当R在底面的投影为C点时，截面为四边形EFQR面积最大，当KG为中点时取得最大值，最大值为334，33948，D正确.故选：B.9．（多选题）（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知m，n为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法错误的是（）A．若m∥，n∥，，则mnB．若m，n，，则mn∥C．若m∥，n，mn，则∥D．若m∥，n，mn∥，则【答案】ABC【解析】由题意，A项,设,,mnmn所在平面1,l,2l,只需12llmn即满足题设,故A错误；B项，设m且,mn且n,此时mn，B错误；C项，当m∥，n，mn时，可能垂直于，C错误；D项，当m∥，n，mn∥，则，故D正确.故选：ABC.10．（多选题）（2023·全国·模拟预测）在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1AC，11CD的中点，则下列说法正确的是（）A．E平面11BDDBB．1AC平面11BDDBC．EF∥平面11BCCBD．EFAB【答案】ACD【解析】选项A，如图连接1AB，1DC，1BD，则四边形11ABCD为平行四边形，因为E为1AC的中点，所以点E是1BD的中点，所以1EBD，又1BD平面11BDDB，故E平面11BDDB，故A正确；选项B，若1AC平面11BDDB，DD1在面BDD1B1内，则11ACDD，因为11AADD∥，所以11ACAA，显然矛盾，所以1AC与平面11BDDB不垂直，故B错误；选项C，连接1BC，在11BCD△中，因为E，F分别是1AC，11CD的中点，所以EF为中位线，所以1EFBC∥，又1BC平面11BC