第01讲 导数的概念与运算（三大题型）（讲义）（原卷版）

第01讲导数的概念与运算目录考点要求考题统计考情分析（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．2022年I卷第15题，5分2021年甲卷第13题，5分2021年I卷第7题，5分高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主．知识点一：导数的概念和几何性质1、概念函数()fx在0xx处瞬时变化率是0000()()limlimxxfxxfxyxx，我们称它为函数yfx在0xx处的导数，记作0()fx或0xxy．知识点诠释：①增量x可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x的意义：x与0之间距离要多近有多近，即|0|x可以小于给定的任意小的正数；②当0x时，y在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()fxxfxyxx无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx．2、几何意义函数()yfx在0xx处的导数0()fx的几何意义即为函数()yfx在点00()Pxy，处的切线的斜率．3、物理意义函数()sst在点0t处的导数0()st是物体在0t时刻的瞬时速度v，即0()vst；()vvt在点0t的导数0()vt是物体在0t时刻的瞬时加速度a，即0()avt．知识点二：导数的运算1、求导的基本公式基本初等函数导函数()fxc（c为常数）()0fx()afxx()aQ1()afxax()xfxa(01)aa，()lnxfxaa()log(01)afxxaa，1()lnfxxa()xfxe()xfxe()lnfxx1()fxx()sinfxx()cosfxx()cosfxx()sinfxx2、导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：[()()]()()fxgxfxgx；（2）函数积的求导法则：[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx；（3）函数商的求导法则：()0gx，则2()()()()()[]()()fxfxgxfxgxgxgx．3、复合函数求导数复合函数[()]yfgx的导数和函数()yfu，()ugx的导数间关系为xuxyyu：【解题方法总结】1、在点的切线方程切线方程000()()()yfxfxxx的计算：函数()yfx在点00(())Axfx，处的切线方程为000()()()yfxfxxx，抓住关键000()()yfxkfx．2、过点的切线方程设切点为00()Pxy，，则斜率0()kfx，过切点的切线方程为：000()()yyfxxx，又因为切线方程过点()Amn，，所以000()()nyfxmx然后解出0x的值．（0x有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．题型一：导数的定义【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数yfx的图象如图所示，函数yfx的导数为yfx，则（）A．(2)(3)(3)(2)ffffB．(3)(2)(3)(2)ffffC．(2)(3)(2)(3)ffffD．(3)(3)(2)(2)ffff【对点训练1】（2023·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为3213htt，当tt0时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当01tt时，液体上升高度的瞬时变化率为（）A．5cm/sB．6cm/sC．8cm/sD．10cm/s【对点训练2】（2023·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数fx的导函数是fx，若02fx，则0001()()2limxfxxfxx（）A．12B．1C．2D．4【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）若函数fx在0x处可导，且0002lim12xfxxfxx，则0fx（）A．1B．1C．2D．12【对点训练4】（2023·高三课时练习）若fx在0x处可导，则0fx可以等于（）．A．000limxfxfxxxB．000limxfxxfxxxC．0002limxfxxfxxxD．0002limxfxxfxxx【解题方法总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．题型二：求函数的导数【例2】（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．(1)221fxx；(2)ln41fxx；(3)322xfx(4)54fxx；【对点训练5】（2023·高三课时练习）求下列函数的导数：(1)2321cosyxxx；(2)2351xxxxyx；(3)18sinlnyxxx；(4)32cos3logxyxxx；(5)33sin3logxyxx；(6)ecostanxyxx．【对点训练6】（2023·海南·统考模拟预测）在等比数列na中，32a，函数12512fxxxaxaxaL，则0f__________．【对点训练7】（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知可导函数fx，gx定义域均为R，对任意x满足21212fxxgxx，且11f，求112fg__________.【对点训练8】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数fx的导函数为fx，且212fxxfx，则1f______．【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(0)eexxfxf，则(0)f__________.【解题方法总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．题型三：导数的几何意义方向1、在点P处切线【例3】（2023·广东广州·统考模拟预测）曲线321yx在点1,1处的切线方程为__________．【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）曲线3()ln(2)2fxx在点0,0f处的切线方程为______．【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）已知函数321()cos32fxxbxxπ，fx为fx的导函数.若fx的图象关于直线x＝1对称，则曲线yfx在点22f,处的切线方程为______【对点训练12】（2023·湖南·校联考模拟预测）若函数322fxxxxR是奇函数，则曲线yfx在点,f处的切线方程为______．方向2、过点P的切线【对点训练13】（2023·江西·校联考模拟预测）已知过原点的直线与曲线lnyx相切，则该直线的方程是______．【对点训练14】（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数31fxxax，过点2,0P存在3条直线与曲线yfx相切，则实数a的取值范围是___________.【对点训练15】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）过点2,03作曲线3yx的切线，写出一条切线方程：__________.【对点训练16】（2023·海南海口·校联考模拟预测）过x轴上一点,0Pt作曲线:3exCyx的切线，若这样的切线不存在，则整数t的一个可能值为_________．【对点训练17】（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线2exyx的切线，则切点的横坐标为___________.【对点训练18】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）若过点1,PaaR有n条直线与函数2exfxx的图象相切，则当n取最大值时，a的取值范围为__________.【对点训练19】（2023·全国·模拟预测）已知函数321113fxxfx，其导函数为fx，则曲线fx过点3,1P的切线方程为______．方向3、公切线【对点训练20】（2023·云南保山·统考二模）若函数4ln1fxx与函数2120gxxxaa的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（）A．10,3B．1,3C．2,13D．12,33【对点训练21】（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）若直线1(1)1ykx与曲线exy相切，直线21)1(ykx与曲线lnyx相切，则12kk的值为___________.【对点训练22】（2023·河北邯郸·统考三模）若曲线exy与圆22()2xay有三条公切线，则a的取值范围是____．【对点训练23】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线21:()Cfxxa和曲线2:()2lnCgxx恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为__________．【对点训练24】（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知曲线21:()Cfxx与曲线12:e(0)xCgxaa有且只有一条公切线，则a________．【对点训练25】（2023·福建南平·统考模拟预测）已知曲线lnyax和曲线2yx=有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．方向4、已知切线求参数问题【对点训练26】（2023·江苏·校联考模拟预测）若曲线lnyxx有两条过e,a的切线，则a的范围是______.【对点训练27】（2023·山东聊城·统考三模）若直线yxb与曲线exyax相切，则b的最大值为（）A．0B．1C．2D．e【对点训练28】（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线ayxx相切，则实数a＝（）A．0B．12C．45D．32【对点训练29】（2023·海南·校联考模拟预测）已知偶函数2131fxaxbxcd在点1,1f处的切线方程为10xy，则abcd（）A．1B．0C．1D．2【对点训练30】（2023·全国·高三专题练习）已知M是曲线21ln2yxxax上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a的取值范围是（）A．2,B．1,C．,2D．,1【对点训练31】（2023·全国·高三专题练习）已知0m，0n，直线11eyxm与曲线ln2yxn相切，则11mn的最小值是（）A．16B．12C．8D．4方向5、切线的条数问题【对点训练32】（2023·河北·高三校联考阶段练习）若过点(,)mn可以作曲线2logyx的两条切线，则（）A．2logmnB．2lognmC．2logmnD．2lognm【对点训练33】（2023·全国·高三专题练习）若过点(,)ab可以作曲线lnyx的两条切线，则（）A．lnabB．lnbaC．lnbaD．lnab【对点训练34】（2023·湖南·校联考二模）若经过点,ab可以且仅可以作曲线lnyx的一条切线，则下列选项正确的是（）A