第01讲 导数的概念与运算（三大题型）（讲义）（解析版）

第01讲导数的概念与运算目录考点要求考题统计考情分析（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．2022年I卷第15题，5分2021年甲卷第13题，5分2021年I卷第7题，5分高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主．知识点一：导数的概念和几何性质1、概念函数()fx在0xx处瞬时变化率是0000()()limlimxxfxxfxyxx，我们称它为函数yfx在0xx处的导数，记作0()fx或0xxy．知识点诠释：①增量x可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x的意义：x与0之间距离要多近有多近，即|0|x可以小于给定的任意小的正数；②当0x时，y在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()fxxfxyxx无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx．2、几何意义函数()yfx在0xx处的导数0()fx的几何意义即为函数()yfx在点00()Pxy，处的切线的斜率．3、物理意义函数()sst在点0t处的导数0()st是物体在0t时刻的瞬时速度v，即0()vst；()vvt在点0t的导数0()vt是物体在0t时刻的瞬时加速度a，即0()avt．知识点二：导数的运算1、求导的基本公式基本初等函数导函数()fxc（c为常数）()0fx()afxx()aQ1()afxax()xfxa(01)aa，()lnxfxaa()log(01)afxxaa，1()lnfxxa()xfxe()xfxe()lnfxx1()fxx()sinfxx()cosfxx()cosfxx()sinfxx2、导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：[()()]()()fxgxfxgx；（2）函数积的求导法则：[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx；（3）函数商的求导法则：()0gx，则2()()()()()[]()()fxfxgxfxgxgxgx．3、复合函数求导数复合函数[()]yfgx的导数和函数()yfu，()ugx的导数间关系为xuxyyu：【解题方法总结】1、在点的切线方程切线方程000()()()yfxfxxx的计算：函数()yfx在点00(())Axfx，处的切线方程为000()()()yfxfxxx，抓住关键000()()yfxkfx．2、过点的切线方程设切点为00()Pxy，，则斜率0()kfx，过切点的切线方程为：000()()yyfxxx，又因为切线方程过点()Amn，，所以000()()nyfxmx然后解出0x的值．（0x有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．题型一：导数的定义【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数yfx的图象如图所示，函数yfx的导数为yfx，则（）A．(2)(3)(3)(2)ffffB．(3)(2)(3)(2)ffffC．(2)(3)(2)(3)ffffD．(3)(3)(2)(2)ffff【答案】D【解析】由fx图象可知''323221ffff，即''3322ffff.故选：D【对点训练1】（2023·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为3213htt，当tt0时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当01tt时，液体上升高度的瞬时变化率为（）A．5cm/sB．6cm/sC．8cm/sD．10cm/s【答案】C【解析】由3213htt，求导得：22htt.当tt0时，20023htt，解得01t（03t舍去）.故当012tt时，液体上升高度的瞬时变化率为22228cm/s.故选：C【对点训练2】（2023·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数fx的导函数是fx，若02fx，则0001()()2limxfxxfxx（）A．12B．1C．2D．4【答案】B【解析】因为02fx所以00000Δ0Δ011(Δ)()(Δ)()1122limlim()11Δ22Δ2xxfxxfxfxxfxfxxx故选：B【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）若函数fx在0x处可导，且0002lim12xfxxfxx，则0fx（）A．1B．1C．2D．12【答案】A【解析】由导数定义可得00002lim2xfxxfxfxx，所以01fx．故选：A．【对点训练4】（2023·高三课时练习）若fx在0x处可导，则0fx可以等于（）．A．000limxfxfxxxB．000limxfxxfxxxC．0002limxfxxfxxxD．0002limxfxxfxxx【答案】A【解析】由导数定义0000=limxfxxfxxxf，对于A，000000000=limlimxxfxfxxfxfxxfxxxxx，A满足；对于B，000000000limlim2=xxfxxfxxfxxfxxxxxxxxf，00001=lim2xffxxfxxxx，B不满足；对于C，00000000022lim=l=im23xxfxxfxxfxxfxxxxxxxfx，000021lim3=xfxxfxfxxx，C不满足；对于D，00000000022limlim23=xxfxxfxxfxxfxxxxxxxxf，0000132=limxfxxfxxxfx，D不满足.故选：A.【解题方法总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．题型二：求函数的导数【例2】（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．(1)221fxx；(2)ln41fxx；(3)322xfx(4)54fxx；【解析】（1）因为2221441fxxxx，所以84fxx.（2）因为ln41fxx，所以441fxx.（3）因为322xfx，所以3232ln2xfx（4）因为54fxx，所以155254254fxxx【对点训练5】（2023·高三课时练习）求下列函数的导数：(1)2321cosyxxx；(2)2351xxxxyx；(3)18sinlnyxxx；(4)32cos3logxyxxx；(5)33sin3logxyxx；(6)ecostanxyxx．【解析】（1）22321cos321cosyxxxxxx2(62)cos321sinxxxxx.（2）3122235135xxxxyxxxx，所以1222213331311222912yxxxx.（3）17118cosyxxx.（4）332cos2cos3loglogxxyxxxxxx332ln2cos2sin3log3logexxxxx.（5）13sin3sin3ln3xxyxxx313ln3sin3cos3logexxxxx.（6）sinecostanecoscosxxxyxxxx，故2sincoscossinecosecoscosxxxxxxyxxx21=ecosesincosxxxxx.【对点训练6】（2023·海南·统考模拟预测）在等比数列na中，32a，函数12512fxxxaxaxaL，则0f__________．【答案】16【解析】因为1251251122fxxxaxaxaxxaxaxaLL1251251122xaxaxaxxaxaxaLL，所以125102faaaL．因为数列na为等比数列，所以2152434aaaaa，于是21042162f．故答案为：16【对点训练7】（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知可导函数fx，gx定义域均为R，对任意x满足21212fxxgxx，且11f，求112fg__________.【答案】3【解析】由题意可知，令1x，则211211112fg，解得111222fg，由21212fxxgxx，得221122122fxxgxxgxx，即2114122fxxgxxgx，令1x，得211141111122fgg，即1114122fgg，解得111114143222fgg.故答案为：3.【对点训练8】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数fx的导函数为fx，且212fxxfx，则1f______．【答案】1【解析】因为212fxxfx，则211fxxf，故1211ff，故11f．故答案为：1.【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(0)eexxfxf，则(0)f__________.【答案】-2【解析】由函数2()(0)eexxfxf求导得：2()2(0)eexxfxf，当0x时，(0)2(0)1ff，解得(0)1f，因此，2()eexxfx，所以(0)2f.故答案为：-2【解题方法总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．题型三：导数的几何意义方向1、在点P处切线【例3】（2023·广东广州·统考模拟预测）曲线321yx在点1,1处的切线方程为__________．【答案】650xy【解析】函数321yx的导函数为