第02讲 单调性问题（六大题型）（讲义）（解析版）

第02讲单调性问题目录考点要求考题统计考情分析（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．2022年甲卷第12题，5分2022年I卷第7题，5分2021年浙江卷第7题，5分高考对单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．知识点一：单调性基础问题1、函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()yfx在某个区间内可导，如果()0fx，则()yfx为增函数；如果()0fx，则()yfx为减函数．2、已知函数的单调性问题①若()fx在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0fx恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0fx，才能得出()fx在某个区间上单调递增；②若()fx在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0fx恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0fx，才能得出()fx在某个区间上单调递减．知识点二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【解题方法总结】1、求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()fx的定义域；（2）求()fx，令()0fx，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()fx的间断点（即()fx的无定义点）的横坐标和()0fx的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()fx的定义域分成若干个小区间；（4）确定()fx在各小区间内的符号，根据()fx的符号判断函数()fx在每个相应小区间内的增减性．注：①使()0fx的离散点不影响函数的单调性，即当()fx在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()fx在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在(,)上，3()fxx，当0x时，()0fx；当0x时，()0fx，而显然3()fxx在(,)上是单调递增函数．②若函数()yfx在区间(,)ab上单调递增，则()0fx（()fx不恒为0），反之不成立．因为()0fx，即()0fx或()0fx，当()0fx时，函数()yfx在区间(,)ab上单调递增．当()0fx时，()fx在这个区间为常值函数；同理，若函数()yfx在区间(,)ab上单调递减，则()0fx（()fx不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：()0fx()fx单调递增；()fx单调递增()0fx；()0fx()fx单调递减；()fx单调递减()0fx．题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【例1】（2023·全国·高三专题练习）设fx是函数fx的导函数，yfx的图象如图所示，则yfx的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由导函数的图象可得当0x时，()0fx¢，函数fx单调递增；当02x时，0fx，函数fx单调递减；当2x时，()0fx¢，函数fx单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.【对点训练1】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数()fx的定义域为R且导函数为'()fx，如图是函数'()yxfx的图像，则下列说法正确的是A．函数()fx的增区间是(2,0),(2,)B．函数()fx的增区间是,2,2,C．2x是函数的极小值点D．2x是函数的极小值点【答案】BD【解析】先由题中图像，确定()fx的正负，得到函数()fx的单调性；从而可得出函数极大值点与极小值点，进而可得出结果.由题意，当02x时，()0fx；当2x，()0fx；当20x时，()0fx；当2x时，()0fx；即函数()fx在,2和(2,)上单调递增，在2,2上单调递减，因此函数()fx在2x时取得极小值，在2x时取得极大值；故A错，B正确；C错，D正确.故选：BD.【对点训练2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数yxfx的图象如图所示（其中fx是函数fx的导函数），下面四个图象中可能是yfx图象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由yxfx的图象知，当,1x时，0xfx，故()0fx¢，fx单调递增；当1,0x时，0xfx，故0fx，当0,1x，0xfx，故0fx，等号仅有可能在x＝0处取得，所以1,1x时，fx单调递减；当1,x时，0xfx，故()0fx¢，fx单调递增，结合选项只有C符合.故选：C.【对点训练3】（2023·陕西西安·校联考一模）已知定义在[3,4]上的函数fx的大致图像如图所示，()fx是fx的导函数，则不等式0xfx的解集为（）A．5(2,1)1,2B．(3,2)C．5(1,0)1,2D．(3,4)【答案】C【解析】若0x，则0,fxfx单调递减，图像可知，1,0x，若0x，则0,fxfx单调递增，由图像可知51,2x，故不等式0xfx的解集为51,01,2．故选：C【解题方法总结】原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数()fx单调递增导函数()0fx（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足()0fx）；原函数单调递减导函数()0fx（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足0()0fx）．题型二：求单调区间【例2】（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数22lnxyxx的单调递增区间为（）A．(0,2)B．(0,1)C．(2,)D．(1,)【答案】D【解析】函数的定义域为(0,).222lnlnxyxxxxx，则2222212(2)(1)1xxxxyxxxx.令00yx，解得(1,)x.故选：D【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）函数lnyxx（）A．严格增函数B．在0,1e上是严格增函数，在1,e上是严格减函数C．严格减函数D．在0,1e上是严格减函数，在1,e上是严格增函数【答案】D【解析】已知lnyxx，0x，则1lnln1yxxxx，令0y，即ln10x，解得1ex，当10ex时，0y，所以在0,1e上是严格减函数，当1ex时，0y，所以在1,e上是严格增函数，故选：D.【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）函数2ln41fxx的单调递增区间（）A．1,2B．1,2C．11,22D．0,【答案】A【解析】由2410x，可得12x或12x，所以函数2ln41fxx的定义域为11,,22.求导可得2841xfxx，当()0fx¢时，0x，由函数定义域可知，12x，所以函数2ln41fxx的单调递增区间是1,2.故选：A.【对点训练6】（2023·高三课时练习）函数bfxaxx（a、b为正数）的严格减区间是（）．A．,baB．,0ba与0,baC．,0ba与0,baD．,00,bbaa【答案】C【解析】由题得0x.由2bfxax，令20bfxax解得0bxa或0bxa．所以函数bfxaxx的严格减区间是,0ba与0,ba.选项D，本题的两个单调区间之间不能用“”连接，所以该选项错误.故选：C【解题方法总结】求函数的单调区间的步骤如下：（1）求()fx的定义域（2）求出()fx．（3）令()0fx，求出其全部根，把全部的根在x轴上标出，穿针引线．（4）在定义域内，令()0fx，解出x的取值范围，得函数的单调递增区间；令()0fx，解出x的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开．题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围【例3】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数2()ln2xfxx在区间1(,)3mm上不单调，则实数m的取值范围为（）A．203mB．213mC．213mD．m1【答案】B【解析】函数2()ln2xfxx的定义域为(0,)，且2(11)1)1)((xfxxxxxxx，令()0fx，得1x，因为()fx在区间1(,)3mm上不单调，所以0113mmm，解得：213m故选：B.【对点训练7】（2023·陕西西安·统考三模）若函数2lnfxxaxx在区间1,e上单调递增，则a的取值范围是（）A．3,B．,3C．23,e1D．23,e1【答案】B【解析】因为函数2lnfxxaxx在区间1,e上单调递增，所以120fxxax在区间1,e上恒成立，即12axx在区间1,e上恒成立，令121egxxxx，则2222212112120xxxgxxxx，所以gx在1,e上递增，又13g，所以3a.所以a的取值范围是,3.故选：B【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）若函数3log(0afxaxxa且1)a在区间0,1内单调递增，则a的取值范围是（）A．3,B．1,3C．10,3D．1,13【答案】A【解析】令3gxaxx