第03讲 极值与最值（七大题型）（讲义）（解析版）

第03讲极值与最值目录考点要求考题统计考情分析（1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．（2）会用导数求函数的极大值、极小值．（3）会求闭区间上函数的最大值、最小值．2022年乙卷第16题，5分2022年I卷第10题，5分2022年甲卷第6题，5分2021年I卷第15题，5分2021年乙卷第10题，5分高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．知识点一：极值与最值1、函数的极值函数()fx在点0x附近有定义，如果对0x附近的所有点都有0()()fxfx，则称0()fx是函数的一个极大值，记作0()yfx极大值．如果对0x附近的所有点都有0()()fxfx，则称0()fx是函数的一个极小值，记作0()yfx极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x为极值点．求可导函数()fx极值的一般步骤（1）先确定函数()fx的定义域；（2）求导数()fx；（3）求方程()0fx的根；（4）检验()fx在方程()0fx的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()yfx在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()yfx在这个根处取得极小值．注：①可导函数()fx在点0x处取得极值的充要条件是：0x是导函数的变号零点，即0()0fx，且在0x左侧与右侧，()fx的符号导号．②0()0fx是0x为极值点的既不充分也不必要条件，如3()fxx，(0)0f，但00x不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数()fxx，在极小值点00x是不可导的，于是有如下结论：0x为可导函数()fx的极值点0()0fx；但0()0fx0x为()fx的极值点．2、函数的最值函数()yfx最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数()fx最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为21212()()()()fxaxbxcaxxxxmxxn（1）当0a时，最大值是1()fx与()fn中的最大者；最小值是2()fx与()fm中的最小者．（2）当0a时，最大值是2()fx与()fm中的最大者；最小值是1()fx与()fn中的最小者．一般地，设()yfx是定义在[]mn，上的函数，()yfx在()mn，内有导数，求函数()yfx在[]mn，上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求()yfx在()mn，内的极值（极大值或极小值）；（2）将()yfx的各极值与()fm和()fn比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．【解题方法总结】（1）若函数fx在区间D上存在最小值minfx和最大值maxfx，则不等式fxa在区间D上恒成立minfxa；不等式fxa在区间D上恒成立minfxa；不等式fxb在区间D上恒成立maxfxb；不等式fxb在区间D上恒成立maxfxb；（2）若函数fx在区间D上不存在最大（小）值，且值域为,mn，则不等式fxafxa或在区间D上恒成立ma．不等式fxbfxb或在区间D上恒成立mb．（3）若函数fx在区间Ｄ上存在最小值minfx和最大值maxfx，即,fxmn，则对不等式有解问题有以下结论：不等式afx在区间D上有解maxafx；不等式afx在区间D上有解maxafx；不等式afx在区间D上有解minafx；不等式afx在区间D上有解minafx；（4）若函数fx在区间D上不存在最大（小）值，如值域为,mn，则对不等式有解问题有以下结论：不等式afxfx或a在区间D上有解an不等式bfxfx或b在区间D上有解bm（5）对于任意的1,xab，总存在2m,xn，使得1212maxmaxfxgxfxgx；（6）对于任意的1,xab，总存在2m,xn，使得1212minminfxgxfxgx；（7）若存在1,xab，对于任意的2m,xn，使得1212minminfxgxfxgx；（8）若存在1,xab，对于任意的2m,xn，使得1212maxmaxfxgxfxgx；（9）对于任意的1,xab，2m,xn使得1212maxminfxgxfxgx；（10）对于任意的1,xab，2m,xn使得1212minmaxfxgxfxgx；（11）若存在1,xab，总存在2m,xn，使得1212minmaxfxgxfxgx（12）若存在1,xab，总存在2m,xn，使得1212maxminfxgxfxgx．题型一：求函数的极值与极值点【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数fx存在一个极大值1fx与一个极小值2fx满足21fxfx，则fx至少有（）个单调区间.A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】若函数fx存在一个极大值1fx与一个极小值2fx，则fx至少有3个单调区间，若fx有3个单调区间，不妨设fx的定义域为,ab，若12axxb，其中a可以为，b可以为，则fx在12,,,axxb上单调递增，在12,xx上单调递减，（若fx定义域为,ab内不连续不影响总体单调性），故21fxfx，不合题意，若21axxb，则fx在21,,,axxb上单调递减，在21,xx上单调递增，有21fxfx，不合题意；若fx有4个单调区间，例如1fxxx的定义域为|0xx，则221xfxx，令()0fx¢，解得1x或1x，则fx在,1,1,上单调递增，在1,0,0,1上单调递减，故函数fx存在一个极大值12f与一个极小值12f，且11ff，满足题意，此时fx有4个单调区间，综上所述：fx至少有4个单调区间.故选：B.【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数fx的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A．fbfafcB．函数fx在x＝c处取得最大值，在ex处取得最小值C．函数fx在x＝c处取得极大值，在ex处取得极小值D．函数fx的最小值为fd【答案】C【解析】由题图可知，当xc时，0fx，所以函数fx在(],c-?上单调递增，又abc，所以fafbfc，故A不正确．因为0fc，0fe，且当xc时，()0fx¢；当cxe时，0fx；当xe时，()0fx¢．所以函数fx在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．由题图可知，当dxe时，0fx，所以函数fx在[d，e]上单调递减，从而fdfe，所以D不正确．故选：C．【对点训练2】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx的导函数为fx，则“yfx在0,2上有两个零点”是“fx在0,2上有两个极值点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】只有当fx在0,2上有两个变号零点时，fx在0,2上才有两个极值点，故充分性不成立；若fx在0,2上有两个极值点，则fx在0,2上有两个变号零点，则fx在0,2上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“fx在0,2上有两个零点”是“fx在0,2上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，故选：D.【对点训练3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）设函数fxxaxbxc，,,Rabc，fx为fx的导函数．(1)当0abc时，过点1,0P作曲线yfx的切线，求切点坐标；(2)若ab¹，bc，且fx和fx的零点均在集合22,2,3中，求fx的极小值．【解析】（1）当0abc时，3()fxx，求导得2()3fxx，设过点1,0P作曲线yfx的切线的切点为300,xx，则200()3fxx，于是切线方程为320003yxxxx，即230032yxxx，因为切线过点1,0P，即有2300032xx，解得00x或032x，所以切点坐标为0,0，327,28.（2）当ab¹，bc时，2322()22fxxaxbxabxbabxab，求导得233abfxxbx，令0fx，得xb或23abx，依题意a，b，23ab都在集合22,2,3中，且ab¹，233ababa，当ab时，2033ababa，且23abaab，则2a，2b，2233ab，当ab时，2033ababa，且23abaab，则22a,b，2233ab，不符合题意，因此2a，2b，22(2)fxxx，232fxxx，当2x或23x时，()0fx，当223x时，()0fx，于是函数fx在,2，2,3上单调递增，在22,3上单调递减，所以当23x时，函数fx取得极小值为2256327f.【对点训练4】（2023·河北·统考模拟预测）已知函数()ln()fxxaxb．(1)证明：当0,0ab时，fx有唯一的极值点为0x，并求0()fx取最大值时0x的值；(2)当0b时，讨论fx极值点的个数．【解析】（1）证明：当0a，0b时，()lnfxxax，可得fx的定义域为(0,)，且1222axafxxxx，令0fx，解得24xa，当204xa时，()0fx，fx单调递减；当24xa时，()0fx，fx单调递增，所以当24xa时，fx有唯一的极小值，即fx有唯一的极值点为204xa，由2220()(4)4ln(4)22ln(2),0fxfaaaaaaaa，令2ta，设()ln,0gttttt，可得()lngtt，由'()0gt，解得1t，当01t时，0gt，()gt单调递增；当1t时，0gt，()gt单调递减，所以当1t，即12a时，()gt有唯一的极大值，即()gt取得最大值1，所以当0()fx的最大值1时，2041xa.（2）当0b时，f