重难点突破01 玩转指对幂比较大小（解析版）

重难点突破01玩转指对幂比较大小目录（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如1xa和2xa，利用指数函数xya的单调性；②指数相同，底数不同，如1ax和2ax利用幂函数ayx单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1logax和2logax利用指数函数logax单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）常见函数的麦克劳林展开式：①21ee12!!(1)!nxxnxxxxnn②352122sin(1)()3!5!(21)!nnnxxxxxoxn③24622cos1(1)()2!4!6!(2)!nnnxxxxxoxn④2311ln(1)(1)()231nnnxxxxxoxn⑤211()1nnxxxoxx⑥22(1)(1)1()2!nnnxnxxox题型一：直接利用单调性【例1】（2023·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知0.53a，3log0.5b，30.5c，则,,abc的大小关系是（）A．abcB．bacC．acbD．bca【答案】D【解析】根据指数函数3xy在R上递增可得，0.50331a；根据对数函数3logyx在(0,)上递增可得，33log0.5log10b，根据指数函数0.5xy在R上递减和值域可得，3000.5510.c，∴bca．故选：D【对点训练1】（2023·天津滨海新·统考三模）已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,上单调递减，若2(log0.2)af，0.2(2)bf，0.3(0.2)cf则a，b，c大小关系为（）A．abcB．cabC．acbD．bac【答案】A【解析】2221log0.2loglog55，因为fx是定义在R上的偶函数，所以222(log0.2)(5log)l5(og)afff，因为22log5log42，00.2112222，...030002021，且fx在0,上单调递减，所以0.20.32(log5)(2)(0.2)fff，即abc．故选：A．【对点训练2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知0.1log0.2a，lgba，2ac，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．acbC．bcaD．bac【答案】D【解析】因为0.1logyx在(0,)上单调递减，所以0.10.10.1log1log0.2log0.1，即01a．因为lgyx在(0,)上单调递增，所以lglg1a，即0b．因为2xy在R上单调递增，所以022a，即1c．综上，bac．故选：D【对点训练3】（2023·天津·统考二模）设113431log4,,33abc，则,,abc的大小关系为（）A．abcB．cabC．bcaD．cba【答案】C【解析】由题意得33log4log31a，11133413,33bc，由于3xy为(,)上的单调增函数，故11133413313bc，故bca，故选：C题型二：引入媒介值【例2】（2023·天津河北·统考一模）若125()3a，121log5b，3log7c，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．bcaC．cabD．cba【答案】B【解析】依题意，10255()()133a，212221loglog5log225b，而23331log3log7log32，即12c，所以a，b，c的大小关系为bca．故选：B【对点训练4】（2023·天津南开·统考二模）已知0.22a，12lg2b，32log10c，则a，b，c的大小关系是（）A．bcaB．abcC．acbD．bac【答案】B【解析】由题意可得：0.20221a，12lg21lg4b，且0lg41，则01b，因为33log10log92，则32log100c，所以cba．故选：B．【对点训练5】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知1ln1.1x，1.1log1.2y，1.12z，则三者的大小关系是（）A．yxzB．zyxC．xyzD．xzy【答案】C【解析】由1ln1ln.1ln101.1x，即0x又由21.11.11.11ln1.1log1.2ln1.12，可得12y，因为1.11222z，即2z，所以xyz．故选：C．【对点训练6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知5log11a，2log8b，ec，则,,abc的大小关系为（）A．acbB．bcaC．cabD．abc【答案】D【解析】由对数函数的运算性质，可得5553log11log121log1252a，2213log8log822b，93e42c，所以cba．故选：D．题型三：含变量问题【例3】（理科数学-学科网2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷））已知π(0,)6，2222ln(2cos1)(2cos1)a，22ln(cos1)(cos1)b，22ln(sin1)(sin1)c，则,,abc的大小关系为（）A．bcaB．acbC．abcD．cab【答案】A【解析】由题可设22ln(1)()(1)xfxx，因为(2)()fxfx，所以()fx的图象关于直线1x对称．因为232[1ln(1)]()(1)xfxx，当(1,2)x时，20(1)1x，所以2ln(1)0x，21ln(1)0x，3(1)0x，所以()0fx，所以()fx在(1,2)上单调递增，由对称性可知()fx在(0,1)上单调递减．因为π(0,)6，所以130sincos122，所以(sin)(cos)cffb；又232cos12，10sin12，由对称性可知22(2cos)(22cos)ff，且21022cos2，因为2222cossin2sinsinsin(2sin1)0，所以21022cossin2，又()fx在(0,1)上单调递减，所以22(sin)(22cos)(2cos)cfffa，所以bca，故选：A．【对点训练7】（云南省大理市辖区2023届高三毕业生区域性规模化统一检测数学试题）已知实数a，b，c满足lnlnln0eaabcbc，则a，b，c的大小关系为（）A．bacB．cbaC．abcD．cab【答案】C【解析】由题意知0,0,0abc，由lnlnln0aabcebc，得01,01,1abc，设ln()(0)xfxxx，则21ln()xfxx，当01x时，()0,()fxfx单调递增，因1xex，当且仅当0x时取等号，故(01)aeaa，又ln0a，所以lnlnaaaea，故lnlnbaba，∴()()fbfa，则ba，即有01abc，故abc．故选：C．【对点训练8】（江西省宜春市2023届高三模拟考试数学（文）试题）已知实数x，y，Rz，且满足lneeexyzxyz，1y，则x，y，z大小关系为（）A．yxzB．xzyC．yzxD．xyz【答案】A【解析】因lneeexyzxyz，1y，则ln0,0xz，即1,0xz，令()ln,1fxxxx，则1()10fxx，函数()fx在(1,)上单调递增，有()(1)10fxf，即lnxx，从而当1,1xy时，lneeeyxxyxx，令(),1ettgtt，1()0ettgt，()gt在(1,)上单调递减，则由1,1xy，eeyxyx得1yx，所以yxz．故选：A【对点训练9】（山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测数学试题）已知函数31sin2fxxx，若π0,12，sincosaf，sinsinbf，12cf，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．bacC．acbD．cab【答案】A【解析】因为3311()sin()(sin)22fxxxxxfx，所以fx在R上是奇函数．所以1122cff对31sin2fxxx求导得，213cos2fxxx令213cos2gxxx，则16sin2gxxx当112x时，0gx，所以gx在1,12上单调递增，则112x时，131131cos10242242gxg，即()0fx¢，所以fx在1,12上单调递增．因为π0,12，所以1cossin2，因为sin10sin2yx在0,上单调递增，所以sinsincossin．令lnln2hxxx，则ln1hxx所以当10ex时，0,hxhx单调递减；当1ex时，0,hxhx单调递增．所以1111lnln2ln2eeeehxh，而e2e，即1e2e，所以1ln2e，即1ln20e．所以lnln2xx，即12xx，则sin1sin2所以sinsin1cossin2所以sinsin1cossin2fff，即abc．故选：A【对点训练10】（2023·陕西西安·统考一模）设0,1abab且1111,log,logbbabxyazaba，则,,xyz的大小关系是（）A．xzyB．zyxC．yzxD．xyz【答案】A【解析】由0,1abab，可得1012ba，则111logloglog1ababababzababab因为01b，所以loglog1bbab，则1logloglog1bbbyaab，因为11bxa，所以xzy．故选：A．题型四：构造函数【例4】（2023·山东潍坊·三模）已知2024202320222022,2023,2024abc，则,,abc的大小关系为（）A．bcaB．bacC．acbD．abc【答案】D【解析】∵ln2022ln2024ln20222023ln2023ln2023ln20232024ab，构造函数2ln()(e)1xfxxx，2(1)ln()(1)xxxfxxx，令()(1)lngxxxx，则()ln0gxx，∴()gx在2[e,)上单减，∴22()(e)1e0gxg，故()0fx，所以()fx在2[e,)上单减，∴ln2