重难点突破02 函数的综合应用（解析版）

重难点突破02函数的综合应用目录1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．2、函数1niifxxa的图象与性质分奇、偶两种情况考虑：比如图（1）函数13fxxxx，图（2）函数121gxxxxx（1）当n为奇数时，函数1niifxxa的图象是一个“”型，且在“最中间的点”取最小值；（2）当n为偶数时，函数1niifxxa的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；若*iaiN为等差数列的项时，奇数的图象关于直线xa中对称，偶数的图象关于直线2xxx左中右中对称．3、若fx为,mn上的连续单峰函数，且0,fmfnx为极值点，则当,kb变化时，gxfxkxb的最大值的最小值为02fnfx，当且仅当00,2fnfxkb时取得．题型一：函数与数列的综合图（1）yxO图（2）Oyx例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}nx，满足11x，*12(1)()nnxlnxnN，设数列{}nx的前n项和为nS，则以下结论正确的是（）A．1nnxxB．112nnnnxxxxC．2121nnxxD．52nS【答案】B【解析】*12(1)()nnxlnxnN，把11x代入递推可得：0nx，令()(1)fxxlnx，0x，则()01xfxx，()fx在(0,)单调递增，()(0)fxf，即当0x时，恒有(1)lnxx成立，0nx，12(1)nnnxlnxx，112nnnxxx，故选项A错误；又211221nnnxxx„，选项C错误；11(1)2(2)(1)22(2)(1)[(1)]2222nnnnnnnnnnnnnnnxlnxxxlnxxxxxxxxlnxlnxx，01nx„，令2(1)2xylnxx，01x„，则220(2)(1)xyxx，函数2(1)2xylnxx在(0，1]上递减，(0)0yy，11(2)0nnnnxxxx，故选项B正确；又由12nnxx可得12nnxx，11x，112nnx„（当且仅当1n时取““)，可得1111112()2222nnnS„，52nS，故选项D错误，故选B．例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()1xfxex，数列{}na的前n项和为nS，且满足111,()2nnaafa，则下列有关数列{}na的叙述正确的是（）A．521||43aaaB．78aa„C．101aD．10026S【答案】A【解析】由()1xfxexx，解得0x或0xx，由零点存在性定理得0(1,2)xx，当0nax时，1210nannnaaea，数列单调递减，1012ax，21101()2afaax，同理，3211()2aafa，迭代下去，可得11102nnaaa，数列单调递减，故选项B和选项C都错误；又12121011.71.50.22nnaaae，100219920.3Saa，故D错误；对于A，21|43||30.540.2|0.7aa，而520.20.7aa，521|43|aaa，故A正确．故选A．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()1xfxex，数列{}na的前n项和为nS，且满足112a，1()nnafa，则下列有关数列{}na的叙述正确的是（）A．214aB．67aaC．10026SD．521|43|aaa【答案】C【解析】对于A选项，112222137311()22424aee，故A错误；对于B选项，由1xex…知，_1()10annnnafaea…，故{}na为非负数列，又_121annnnaaea，设()21(0)xgxexx，则()2xgxe，易知()gx在[0，2)ln单调递减，在(2,)ln上单调递增，所以1122()(0)02minlngxg，又11022aln，所以210aa，从而10nnaa，所以{}na为递减数列，且102na剟，故B错误；对于C选项，因为数列{}na为递减数列，当2n时，有214naa，10012310011111012624444Saaaa，故C正确；对于D选项，因为514a，而21231|43||4|22aaa，故D错误．故选C．变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}na满足：0na，且22*1132(N)nnnaaan，下列说法正确的是（）A．若112a，则1nnaaB．若12a，则1317nnaC．1532aaaD．21133nnnnaaaa【答案】B【解析】22*1132(N)nnnaaan，故22111321nnnaaa，11(1)(1)(31)(1)nnnnaaaa．0na，故10na且1310na，于是(1)na与1(1)na同号，即1(1)(1)0nnaa．对选项A：若112a，则11102a，则10na，221112(1)0nnnnaaaa，所以1nnaa，错误；对选项B：12a，1110a，则10na，即1na，于是221112(1)0nnnnaaaa，即1nnaa，数列{}na单调递减，12naa，142na，170nnaa，故1147()2nnnaaa，即113317nnaa，11(1)(1)(31)(1)nnnnaaaa，故111131317nnnnaaaa，故1317nna，故1317nna，正确；对选项C：考虑函数232fxxx，23x，231032xfxxx，函数单调递增，结合yx的图像，如图所示：由图可知当0na时，数列1{}nnaa递减，12233445aaaaaaaa，所以1335aaaa，即1532aaa，不正确；对选项D：设1nax，则232naxx，221133nxa，21133nnnnaaaa，即2211333233xxxxx，等价于222239621331xxxxx，化简得2210xx，而2210xx显然不恒成立，不正确；故选：B．变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数sinlnfxxx，将fx的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列nx，对于nN，则下列说法中正确的是（）A．π1πnnxnB．1πnnxxC．数列21π2nnx是递增数列D．241π1ln2nnfx【答案】D【解析】fx的极值点为1cosfxxx在0,上的变号零点.即为函数cosyx与函数1yx图像在0,交点的横坐标.又注意到0,x时，10x，Nk时，1cos(π2π)1π2πkk，Nk，022222πππ,∪π,πxkk时，cos0x.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.A选项，注意到Nk时，π1(2π)0π22π2fkk，12102ππππfkk，31203222ππππfkk.结合图像可知当21，Nnkk，112π,ππ,πnxnnnn.当2，Nnkk，1112π,ππ,πnxnnnn.故A错误；B选项，由图像可知325322π，πxx，则32πxx，故B错误；C选项，(21)π2nnx表示两点,0nx与12π,0n间距离，由图像可知，随着n的增大，两点间距离越来越近，即(21)π2nnx为递减数列，故C错误；D选项，由A选项分析可知，241212π,π，Nnnxnn，又结合图像可知，当2412,πnnxx时，1cosxx，即此时()0fx¢，得fx在2412,πnnx上单调递增，则2(41)π(41)π1ln22nnnfxf，故D正确.故选：D变式3．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）无穷数列na满足：101a，且对任意的正整数n，均有1e3ennaana，则下列说法正确的是（）A．数列na为严格减数列B．存在正整数n，使得0naC．数列na中存在某一项为最大项D．存在正整数n，使得43na【答案】D【解析】因为10e3ennaana，所以30na，所以3na，由1e3ennaana可得1e3nnanaa，则1ln3nnnaaa，则有1ln3nnnaaa，设函数()ln(3),03fxxxx，12()133xfxxx，当02x时，()0fx，当23x时，()0fx，所以()fx在0,2单调递增，2,3单调递减，所以()(2)2fxf，因为101a，所以2132()0,2,()0,2,afaafa以此类推，对任意,02nnaN，故B错误；所以1()ln(3)nnnnnafaaaa，故A错误；因为1nnaa，所以数列na中不存在某一项为最大项，C错误；因为101a，所以2111()ln(3)ln31afaaa，322234()ln(3)1ln223afaaa，所以存在正整数n，使得43na，D正确.题型二：函数与不等式的综合例4．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式999999999999121xxx，解集为___________.【答案】1,【解析】由题设，99999999(1)(2)1xxx，而9999yx在R上递增，当12xx即1x时，99999999(1)(2)01xxx，原不等式不成立；当12xx即1x时，99999999(1)(2)01xxx，原不等式恒成立.综上，解集为1,.故答案为：1,例5．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契(1175年~1250年）以兔子繁殖数量为例，引人数列：1,1,2,3,