重难点突破04 三次函数的图象和性质 （七大题型）（原卷版）

重难点突破04三次函数的图象和性质目录1、基本性质设三次函数为：32()fxaxbxcxd(a、b、c、Rd且0a)，其基本性质有：性质1：①定义域为R．②值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：0a0a图像0000性质2：三次方程()0fx的实根个数由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数32()(0)fxaxbxcxda其导函数为二次函数:2()32(0)fxaxbxca，判别式为：△=224124(3)bacbac，设()0fx的两根为1x、2x，结合函数草图易得：(1)若230bac，则()0fx恰有一个实根；(2)若230bac,且12()()0fxfx，则()0fx恰有一个实根；(3)若230bac,且12()()0fxfx，则()0fx有两个不相等的实根；(4)若230bac,且12()()0fxfx，则()0fx有三个不相等的实根.说明:(1)(2)()0fx含有一个实根的充要条件是曲线()yfx与x轴只相交一次，即()fx在R上为单调函数（或两极值同号），所以230bac（或230bac，且12()()0fxfx）;(5)()0fx有两个相异实根的充要条件是曲线()yfx与x轴有两个公共点且其中之一为切点，所以230bac，且12()()0fxfx;(6)()0fx有三个不相等的实根的充要条件是曲线()yfx与x轴有三个公共点，即()fx有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以230bac且12()()0fxfx.性质3：对称性（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；(())33bbfaa，；（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2、常用技巧（1）其导函数为2()320fxaxbxc对称轴为3bxa，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，()yfx图象的对称中心在导函数yfx的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；（2）()yfx是可导函数，若()yfx的图象关于点(,)mn对称，则()yfx图象关于直线xm对称.（3）若()yfx图象关于直线xm对称，则()yfx图象关于点(,0)m对称.（4）已知三次函数32fxaxbxcxd的对称中心横坐标为0x，若fx存在两个极值点1x，2x，则有21212012223fxfxaxxfxxx.题型一：三次函数的零点问题例1．（2023·全国·高三专题练习）函数32fxxax存在3个零点，则a的取值范围是（）A．,2B．,3C．4,1D．3,0例2．（2023·江苏扬州·高三校考阶段练习）设a为实数，函数33fxxxa．（1）求fx的极值；（2）是否存在实数a，使得方程0fx恰好有两个实数根?若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．例3．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数32()3(,R)fxaxbxxab，且()fx在1x和3x处取得极值.(1)求函数()fx的解析式；(2)设函数()()gxfxt，若()()gxfxt有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.变式1．（2023·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）已知324fxaxbxa，,abR.（1）当1ab，求yfx的极值；（2）当0a，2b，设2ln1gxxx，求不等式fxgx的解集；（3）当0a时，若函数fx恰有两个零点，求ba的值.变式2．（2023·河北保定·高三统考阶段练习）已知函数32()33fxxxx.（1）求函数fx的图象在点0x处的切线方程；（2）若3()1fxxm在0,2x上有解，求m的取值范围；（3）设fx是函数fx的导函数，fx是函数fx的导函数，若函数fx的零点为0x，则点00,xfx恰好就是该函数fx的对称中心.试求12201820191010101010101010ffff的值.变式3．（2023·山西太原·高三太原市外国语学校校考阶段练习）已知三次函数32()(,,)fxxbxcxdabcR过点(3,0)，且函数()fx在点(0,(0))f处的切线恰好是直线0y.(1)求函数()fx的解析式；(2)设函数()91gxxm，若函数()()yfxgx在区间[2,1]上有两个零点，求实数m的取值范围.变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数31()3fxxax，2Rgxxaa．(1)若函数()()()Fxfxgx在[1,)x上单调递增，求a的最小值；(2)若函数()()()Gxfxgx的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．题型二：三次函数的最值、极值问题例4．（2023·云南·高三统考期末）已知函数321()23fxxxax，21()42gxx.（1）若函数()fx在0,上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（2）设()()()Gxfxgx.若02a，()Gx在1,3上的最小值为ha，求ha的零点.例5．（2023·高三课时练习）已知函数321()23fxxxax，21()42gxx.（1）若函数()fx在0,上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（2）设()()()Gxfxgx.若02a，()Gx在1,3上的最小值为13，求()Gx在1,3上取得最大值时，对应的x值.例6．（2023·江苏常州·高三常州市北郊高级中学校考期中）已知函数f(x)=3221xaxax，其中a0.(1)当a=1时，求f(x)的单调增区间；(2)若曲线y=f(x)在点,afa处的切线与y轴的交点为（0，b），求b+1a的最小值.变式5．（2023·广东珠海·高三校联考期中）已知函数322113fxxaxaxb（a，bR），其图象在点1,1f处的切线方程为30xy．(1)求a，b的值；(2)求函数fx的单调区间和极值；(3)求函数fx在区间2,5上的最大值．变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数32()fxxaxx，Ra，且()01f．(1)求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；(2)求函数()fx在区间[0,3]上的最大值．变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数32()3fxxbxcxd在(,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，且()0fx的一个根为b（1）求c的值；（2）求证：()0fx还有不同于b的实根1x、2x，且1x、b、2x成等差数列；（3）若函数()fx的极大值小于16，求(1)f的取值范围变式8．（2023·浙江宁波·高三效实中学校考期中）已知函数321()(2)13fxxaxax(其中0a).（1）求函数()fx的单调区间；（2）若()fx有两个不同的极值点1x，2x，求12()()fxfx的取值范围.题型三：三次函数的单调性问题例7．（2023·陕西商洛·高三校考阶段练习）已知三次函数322141152723fxxmxmmx在R上是增函数，则m的取值范围是()A．m2或m4B．－4m－2C．2m4D．2≤m≤4例8．（2023·全国·高三专题练习）三次函数3()fxmxx在(,)上是减函数，则m的取值范围是（）A．0mB．1mC．0mD．1m£例9．（2023·江西宜春·高三校考阶段练习）已知函数3211()-32mfxxx，1()3gxmx，m是实数.（1）若()fx在区间(2,+∞)为增函数，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下,函数()()()hxfxgx有三个零点，求m的取值范围.变式9．（2023·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知三次函数3()3fxaxbx在1x处取得极值，且在(0,3)点处的切线与直线30xy平行.（1）求()fx的解析式；（2）若函数()()gxfxmx在区间(1，2)上单调递增，求m的取值范围.变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数31243fxxax在1,2上单调递增，则a的取值范围为______．题型四：三次函数的切线问题例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数3()fxxx．(1)求曲线()yfx在点(Mt，())ft处的切线方程；(2)设常数0a，如果过点(,)Pam可作曲线()yfx的三条切线，求m的取值范围．例11．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知函数3231fxxxx.（1）求曲线yfx在点,Ptft处的切线方程；（2）设1m，若过点,Qmn可作曲线yfx的三条切线，证明:2mnfm.例12．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数32111232fxxaxaxaR，()fx满足()()4fxfx，已知点M是曲线()yfx上任意一点，曲线在M处的切线为l.(1)求切线l的倾斜角的取值范围；(2)若过点4(1,)3Pmm可作曲线()yfx的三条切线，求实数m的取值范围.变式11．（2023·安徽·高三校联考期末）已知函数32136fxxxmx，在0x处取得极值．（1）求m的值；（2）若过2,t可作曲线yfx的三条切线，求t的取值范围．变式12．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）已知函数32fxaxbx在点1,1f处的切线方程为310xy．（1）求实数a，b的值；（2）若过点1,4mm可作曲线yfx的三条切线，求实数m的取值范围．变式13．（2023·全国·高三专题练习）设函数32103fxxaxbxca在0x处取得极值1．(1)设点,Aafa，求证：过点A的切线有且只有一条，并求出该切线方程；(2)若过点0,0可作曲线yfx的三条切线，求a的取值范围；(3)设曲线yfx在点11,xfx、2212,xfxxx处的切线都过点0,0，证明：12fxfx．题型五：三次函数的对称问题例13．（2023·全国·高三专题练习）给出定义：设()fx是函数()yfx的导函数，()fx是函数()yfx的导函数.若方程()0fx有实数解0xx，则称00,xfx为函数()yfx的“拐点”.经研究发现所有的三次函数32()(0)fxaxbxcxda都有“拐点”，且该“拐点”也是函数()yfx的图象的对称中心.若函数32()3fxxx，则1234044404520232023202320232023fffff（）A．8088B．8090C．8092D．8096例14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数323yxxx的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点1122,,MxyNxy,，就恒有12yy的定值为0y，则0y的值为______.例15．（2023·新疆·统考