重难点突破04 三次函数的图象和性质 （七大题型）（解析版）

重难点突破04三次函数的图象和性质目录1、基本性质设三次函数为：32()fxaxbxcxd(a、b、c、Rd且0a)，其基本性质有：性质1：①定义域为R．②值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：0a0a图像0000性质2：三次方程()0fx的实根个数由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数32()(0)fxaxbxcxda其导函数为二次函数:2()32(0)fxaxbxca，判别式为：△=224124(3)bacbac，设()0fx的两根为1x、2x，结合函数草图易得：(1)若230bac，则()0fx恰有一个实根；(2)若230bac,且12()()0fxfx，则()0fx恰有一个实根；(3)若230bac,且12()()0fxfx，则()0fx有两个不相等的实根；(4)若230bac,且12()()0fxfx，则()0fx有三个不相等的实根.说明:(1)(2)()0fx含有一个实根的充要条件是曲线()yfx与x轴只相交一次，即()fx在R上为单调函数（或两极值同号），所以230bac（或230bac，且12()()0fxfx）;(5)()0fx有两个相异实根的充要条件是曲线()yfx与x轴有两个公共点且其中之一为切点，所以230bac，且12()()0fxfx;(6)()0fx有三个不相等的实根的充要条件是曲线()yfx与x轴有三个公共点，即()fx有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以230bac且12()()0fxfx.性质3：对称性（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；(())33bbfaa，；（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2、常用技巧（1）其导函数为2()320fxaxbxc对称轴为3bxa，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，()yfx图象的对称中心在导函数yfx的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；（2）()yfx是可导函数，若()yfx的图象关于点(,)mn对称，则()yfx图象关于直线xm对称.（3）若()yfx图象关于直线xm对称，则()yfx图象关于点(,0)m对称.（4）已知三次函数32fxaxbxcxd的对称中心横坐标为0x，若fx存在两个极值点1x，2x，则有21212012223fxfxaxxfxxx.题型一：三次函数的零点问题例1．（2023·全国·高三专题练习）函数32fxxax存在3个零点，则a的取值范围是（）A．,2B．,3C．4,1D．3,0【答案】B【解析】3()2fxxax，则2()3fxxa，若fx要存在3个零点，则fx要存在极大值和极小值，则a0，令2()30fxxa，解得3ax或3a，且当,,33aax时，()0fx，当,33aax，()0fx，故fx的极大值为3fa，极小值为3fa，若fx要存在3个零点，则0303afaf，即2033320333aaaaaaaa，解得3a，故选：B.例2．（2023·江苏扬州·高三校考阶段练习）设a为实数，函数33fxxxa．（1）求fx的极值；（2）是否存在实数a，使得方程0fx恰好有两个实数根?若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）233fxx，令0fx，得=1x或1x．∵当(,1)x时，0fx′；当1,1x时，0fx′；当(1,)x时，0fx′．所以()fx在(,1)上递减，在(1,1)上递增，在(1,)上递减，()fx\的极小值为()12fa-=-，极大值为12fa．（2）由（1）知，()fx在(,1)上递减，在(1,1)上递增，在(1,)上递减，而22aa，即函数的极大值大于极小值．∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线fx与x轴恰好有两个交点，即方程0fx恰好有两个实数根，如图1所示．20a，即2a．当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线fx与x轴恰有两个交点，即方程0fx恰好有两个实数根，如图2所示．20a，即2a．综上所述，当2a或2a时，方程0fx恰好有两个实数根．例3．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数32()3(,R)fxaxbxxab，且()fx在1x和3x处取得极值.(1)求函数()fx的解析式；(2)设函数()()gxfxt，若()()gxfxt有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.【解析】（1）2()323fxaxbx，因为()fx在1x和3x处取得极值，所以1x和3x是方程()fx＝0的两个根，则21333133baa，解得132ab，经检验符合已知条件，所以321()233fxxxx；（2）由题意知3221()23,()433gxxxxtgxxx，当3x或1x时，0gx，当13x时，0gx，所以函数gx在3,,,1上递减，在1,3上递增，所以43,13gxgtgxgt极大值极小值，又x取足够大的正数时，()0gx，x取足够小的负数时，()0gx，因此，为使曲线()ygx与x轴有一个交点，结合()gx的单调性，得：0gxt极大值或403gxt极小值，∴0t或43t，即当0t或43t时，使得曲线()ygx与x轴有一个交点.变式1．（2023·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）已知324fxaxbxa，,abR.（1）当1ab，求yfx的极值；（2）当0a，2b，设2ln1gxxx，求不等式fxgx的解集；（3）当0a时，若函数fx恰有两个零点，求ba的值.【解析】（1）324fxxx，∴2'320fxxx，10x，223x.x2,3232,0300,'fx+0-0+fx10827-4∴fx在23x时，取极大值10827.在0x时，取极小值-4.（2）222ln1xxx，即2ln10xx，设2ln1xxxh，1'20hxxx，hx单调增函数，且10h，∴不等式的解集为0,1.（3）21'3200fxaxbxx，223bxa，1.0b，,0单调递增，20,3ba单调递减，2,3ba单调递增，而040fa，所以至多一个零点，（舍去）.2.0b，'0fxfx单调增，所以至多一个零点，（舍去）.3.0b，2,3ba单调递增，2,03ba单调递减，0,单调递增，而040fa，22440fab，∴fx在0,上有一个零点，所以fx在0，上有一个零点，根据fx在2,3ba单调递增，2,03ba单调递减.∴2033bbfaa.变式2．（2023·河北保定·高三统考阶段练习）已知函数32()33fxxxx.（1）求函数fx的图象在点0x处的切线方程；（2）若3()1fxxm在0,2x上有解，求m的取值范围；（3）设fx是函数fx的导函数，fx是函数fx的导函数，若函数fx的零点为0x，则点00,xfx恰好就是该函数fx的对称中心.试求12201820191010101010101010ffff的值.【解析】（1）因为2()363fxxx所以所求切线的斜率03kf又因为切点为0,0所以所求的切线方程为3yx（2）因为31fxxm，所以2331xxm因为31fxxm在0,2x上有解，所以m不小于2331xx在区间0,2上的最小值.因为0,2x时，2211133137,244xxx，所以m的取值范围是7,.（3）因为2363fxxx，所以61fxx.令0fx可得01x，所以函数fx的对称中心为1,1，即如果122xx，则122fxfx，所以122018201920192201910101010101010102ffff.变式3．（2023·山西太原·高三太原市外国语学校校考阶段练习）已知三次函数32()(,,)fxxbxcxdabcR过点(3,0)，且函数()fx在点(0,(0))f处的切线恰好是直线0y.(1)求函数()fx的解析式；(2)设函数()91gxxm，若函数()()yfxgx在区间[2,1]上有两个零点，求实数m的取值范围.【解析】（1）322()()32fxxbxcxdfxxbxc，由题意可知：32(3)279303(0)00()3(0)00fbcdbfccfxxxfdd；（2）令32()()0391yfxgxmxxx，设322()391()3693(3)(1)hxxxxhxxxxx，当[2,1)x时，()0,()hxhx单调递增，当(1,1]x时，()0,()hxhx单调递减，所以max()(1)6,(2)1,(1)10hxhhh，因为函数()()yfxgx在区间[2,1]上有两个零点，所以直线ym与函数32()391hxxxx([2,1])x的图象有两个交点，故有16m，即实数m的取值范围为[1,6).变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数31()3fxxax，2Rgxxaa．(1)若函数()()()Fxfxgx在[1,)x上单调递增，求a的最小值；(2)若函数()()()Gxfxgx的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．【解析】（1）321()()()3Fxfxgxxaxxa，2()2Fxxxa，因函数()()()Fxfxgx在[1,)x上单调递增，所以2()20Fxxxa在[1,)x)恒成立，即3a，a的最小值为3．（2）321()()()3Gxfxgxxxaxa，2()2Gxxxa，444(1)aa．①若1a，则0，()0Gx在R上恒成立，()Gx在R上单调递增．(0)0Ga，320Ga，当1a时，函数()Gx的图象与x轴有且只有一个交点．②若1a，则0，()0Gx