重难点突破06 双变量问题（六大题型）（原卷版）

重难点突破06双变量问题目录破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.题型一：双变量单调问题例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)ln1fxaxax．(1)当2a时，求曲线()yfx在1,(1)f处的切线方程；(2)设2a，证明：对任意1x，2(0,)x，1212|()()|4||fxfxxx．例2．（2023·安徽·校联考三模）设aR，函数2ln11fxaxax.（Ⅰ）讨论函数fx在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数fx的图象在点1,1f处的切线与直线820xy平行，且对任意12,,0xx，12xx，不等式1212fxfxmxx恒成立，求实数m的取值范围.例3．（2023·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数2()(1)ln1.fxaxax（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）若1a时，任意的120xx，总有1212|()()|2||fxfxxx，求实数a的取值范围.变式1．（2023·全国·模拟预测）已知函数1log2amfxxx，mR，0a且1a．（1）当2a时，讨论fx的单调性；（2）当ae时，若对任意的120xx，不等式21121212xfxxfxxx恒成立，求实数m的取值范围．变式2．（2023·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试）已知函数2ln21fxxaxax．(1)讨论fx的单调性；(2)当a0时，证明324fxa；(3)若对任意的不等正数12,xx，总有12122fxfxxx，求实数a的取值范围．题型二：双变量不等式:转化为单变量问题例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1()lnfxxaxx．（1）讨论()fx的单调性；（2）已知52a，若()fx存在两个极值点12,xx，且12xx，求2112()()+fxfxxx的取值范围.例5．（2023·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）已知函数2lnRfxxxaxa(1)若1a，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；(2)当0a时，讨论f（x）的单调性；(3)设f（x）存在两个极值点12,xx且12xx，若110x2求证：123ln24fxfx.例6．（2023·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数2()2lnfxxaxx（a为常数）(1)讨论fx的单调性(2)若函数fx存在两个极值点12xx，12xx，且2183xx，求12fxfx的范围.变式3．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数21ln()2fxxax，其中aR．(1)当1a时，求函数fx在1,1f处的切线方程；(2)讨论函数fx的单调性；(3)若fx存在两个极值点121221,,xxxxfxfx的取值范围为315ln2,2ln248，求a的取值范围．变式4．（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数2230exxaxafxx（）(1)讨论函数fx的单调性；(2)若函数fx存在两个极值点12,xx，记1212(,)hxxfxfx,求12,hxx的取值范围.变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数211ln412fxxaxx．（1）讨论fx的单调性；（2）若fx存在两个极值点1x，2x，且12124fxfxfxxa，求a的取值范围．变式6．（2023·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中）设函数2()e(1)e(R)xxfxaxaa．(1)当2e2a时，求2()()exgxfx的单调区间；(2)若()fx有两个极值点1212,xxxx，①求a的取值范围；②证明：1223xx．题型三：双变量不等式:极值和差商积问题例7．（2023·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知aR，函数()ln222afxxxxx.(1)当0a时，求()fx的单调区间和极值；(2)若()fx有两个不同的极值点1x，212xxx.（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：12eln2ln3ln22xx（e2.71828……为自然对数的底数）.例8．（2023·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）已知函数()ee()xxfxaxaR．(1)讨论()fx的单调性；(2)若()fx存在两个极值点12,xx，证明：121220fxfxaxx．例9．（2023·全国·模拟预测）已知函数2lnfxxxaxa．(1)当1a时，求曲线yfx在1x处的切线方程；(2)若fx存在两个极值点1x、2x，求实数a的取值范围，并证明：1202xxf．变式7．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）已知函数1elnxfxmx，Rm.(1)当1m时，讨论方程10fx解的个数；(2)当em时，2eln2txgxfxx有两个极值点1x，2x，且12xx，若2ee2t，证明：（i）1223xx；（ii）1220gxgx.变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()ln(1),2afxxxaxaR（1）讨论函数()fx的单调区间；（2）设1x，2120xxx是函数()()gxfxx的两个极值点，证明：12ln2agxgxa恒成立．变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln,fxxmxmR.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若21()()2gxfxx有两个极值点12,xx，求证：1230gxgx.题型四：双变量不等式:中点型例10．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数2ln2fxxaxaxaR，．（1）已知1x为fx的极值点，求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；（2）讨论函数gxfxax的单调性；（3）当12a时，若对于任意1212,1,xxxx，都存在012,xxx，使得21021fxfxfxxx，证明：2102xxx．例11．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数211ln2fxxaxax.（Ⅰ）讨论fx的单调性；（Ⅱ）设0a，证明：当0xa时，faxfax；（Ⅲ）设12,xx是fx的两个零点，证明1202xxf.例12．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数2()(12)lnfxxaxax(Ra且0)a.（1）讨论函数()fx的单调性;（2）当2a时，若函数()yfx的图象与x轴交于A，B两点，设线段AB中点的横坐标为0x，证明:0()0fx.变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()ln(2)fxxaxax.(1)讨论fx的单调性；(2)若函数yfx的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为0x，证明：00fx.变式11．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数21()ln(1)2fxxaxax.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）设函数()fx图象上不重合的两点112212,,(,)()AxyBxyxx.证明：12'()2ABxxkf.（ABk是直线AB的斜率）变式12．（2023·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知函数222lnfxxaxx（0a）．（1）讨论函数fx的单调性；（2）设2lngxxbxcx，若函数fx的两个极值点1x，2x（12xx）恰为函数gx的两个零点，且12122xxyxxg的取值范围是ln31,，求实数a的取值范围．题型五：双变量不等式:剪刀模型例13．（2023·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数e(0)xfxxbab在点(1，1f)处的切线方程为e1ee10xy．(1)求a、b；(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；(3)若关于x的方程()0fxmm有两个实数根1x、2x，且12xx，证明：2112e11emxx„．例14．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知函数20xfxxbeab在点11,22f处的切线方程为1102eexey．（1）求a，b；（2）函数fx图像与x轴负半轴的交点为P，且在点P处的切线方程为yhx，函数Fxfxhx，xR，求Fx的最小值；（3）关于x的方程fxm有两个实数根1x，2x，且12xx，证明：211221mmexxe．例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e1xfxax，ln3是()fx的极值点．(1)求a的值；(2)设曲线()yfx与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线为直线l．求证：曲线()yfx上的点都不在直线l的上方；(3)若关于x的方程()(0)fxmm有两个不等实根1x，212()xxx，求证：217210mxx．变式13．（2023·安徽·校联考二模）已知函数3e1xfxx，其中e2.71828是自然对数的底数.(1)设曲线yfx与x轴正半轴相交于点0,0Px，曲线在点P处的切线为l，求证：曲线yfx上的点都不在直线l的上方；(2)若关于x的方程fxm（m为正实数）有两个不等实根1212,xxxx，求证：21324xxm.变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数4()gxx，xR，在点1,(1)g处的切线方程记为()ymx，令()()()3fxmxgx．(1)设函数()fx的图象与x轴正半轴相交于P，()fx在点P处的切线为l，证明：曲线()yfx上的点都不在直线l的上方；(2)关于x的方程()(fxaa为正实数）有两个实根1x，2x，求证：21||23axx．题型六：双变量不等式:主元法例16．（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数lnfxxx．(1)求函数fx的单调区间和最小值；(2)当0b时，求证：11eebb（其中e为自然对数的底数）；(3)若0a，0b求证：ln2faabfabfb．例17．（2023·河南信阳·高二校联考阶段练习）已知函数lnfxxx．(1)求曲线yfx在点e,ef处的切线方程；(2)求函数fx的最小值，并证明：当0b时，1e1ebb≥．（其中e为自然对数的底数）例18．（2023·山西晋中·高二校考阶段练习）已知函数1e6xfxkx（其中e为自然对数的底数）．(1)若1k，求函数fx的单调区间；(2)若12k，求证：0,xk，2fxx