重难点突破08 证明不等式问题 （十三大题型）（原卷版）

重难点突破08证明不等式问题目录利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式fxgx（或fxgx）转化为证明0fxgx（或0fxgx），进而构造辅助函数hxfxgx；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形题型一：直接法例1．（2023·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）已知函数2ln1fxx．(1)若函数fx在点00,Pxfx处的切线平行于直线22yx，求切点P的坐标及此切线方程；(2)求证：当0,e1x时，22fxxx．（其中e2.71828）例2．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数ln1()xfxxx.(1)求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；(2)求证：()23fxx.例3．已知函数()(1)afxalnxxx，0a．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当1a时，证明：(1,)x，2()fxaa．题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）例4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数11(0)xfxxx．(1)证明：efx；(2)讨论fx的单调性，并证明：当*nN时，21ln1ln1ln2nnnnnn．例5．已知曲线21()2xfx与曲线()gxalnx在公共点(1,0)处的切线相同，（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求证：当0x时，2112xxlnx厖．例6．已知函数()1()xfxeaxaR，()gxxlnx．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若直线1yx是函数()yfx图象的切线，求证：当0x时，()()fxgx…．变式1．已知函数2()sin(1)2xfxxlnx．（1）证明：()0fx…；（2）数列{}na满足：1102a，1()(*)nnafanN．（ⅰ）证明：10(*)2nanN；（ⅱ）证明：*nN，1nnaa．变式2．讨论函数2()2xxfxex的单调性，并证明当0x时，(2)20xxex．题型三：分析法例7．已知函数()()fxlnax，已知0x是函数yxf()x的极值点．（1）求a；（2）设函数()()()xfxgxxfx．证明：()1gx．例8．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数()eaxfx(1)求()yfx在xa处的切线;(2)若02a，证明当0x时，()2afxx.例9．已知12a„，函数()xfxexa，其中2.71828e为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()yfx在(0,)上有唯一零点；（Ⅱ）记0x为函数()yfx在(0,)上的零点，证明：（ⅰ）012(1)axa剟；（ⅱ）00()(1)(1)xxfeeaa…．变式3．已知函数()1xfxeax在(0,)上有零点0x，其中2.71828e是自然对数的底数．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）记()gx是函数()yfx的导函数，证明：0()(1)gxaa．题型四：凹凸反转、拆分函数例10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数322fxxaxbxa，当0a，3b时，证明：任意的xR，都有12eexxfx恒成立.例11．（2023·河南开封·校考模拟预测）设函数22exfxxx，2elnegxxax．(1)若函数gx在e,上存在最大值，求实数a的取值范围；(2)当2a时，求证：fxgx．例12．已知函数2212()()()xfxalnxaRxx．（Ⅰ）若2x是()fx的极小值点，求a的取值范围；（Ⅱ）若1a，()fx为()fx的导函数，证明：当12x剟时，3()()2fxfx．变式4．已知函数3()fxxax．()aR（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）求证：23()2xxxexlnxefxaxex．题型五：对数单身狗，指数找朋友例13．已知函数1()xfxlnxax．（Ⅰ）当1a时，求()fx在1[2，2]上最大值及最小值；（Ⅱ）当12x时，求证(1)2(1)xlnxx．例14．已知函数(1)()bxfxalnxx，曲线()yfx在点(1，f（1）)处的切线方程为2y．（1）求a、b的值；（2）当0x且1x时．求证：(1)()1xlnxfxx．例15．已知二次函数()gx对任意实数x都满足2(1)(1)21gxgxxx，且g（1）1，令19()()(,0)28fxgxmlnxmRx．（1）求()gx的表达式；（2）设1me„，()()(1)Hxfxmx．证明：对任意1x，2[1x，]m，恒有12|()()|1HxHx．变式5．已知函数()()fxlnxaxlaR．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若函数()fx图象过点(1,0)，求证：10xelnxxx…．变式6．已知函数()1()fxlnxaxaR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）若函数()fx图象过点(1,0)，求证：()0xexfx…．题型六：放缩法例16．（2023·全国·高三专题练习）已知12exfxx，lnaxxgxx，Ra．(1)当1,x时，求函数gx的极值；(2)当0a时，求证：fxgx．例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函数2e1xfxaxx（Ra，e为自然对数的底数）．(1)讨论函数fx的单调性；(2)当21ea时，求证：2ln2xxfxx.例18．已知函数()21xfxaex．（其中常数2.71828e，是自然对数的底数．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）证明：对任意的1a…，当0x时，()()fxxaex…．变式7．已知函数1()afxlnxx，(sin1)2()axgxx（1）讨论函数()fx的单调性；（2）求证：当01a剟时，()()fxgx．变式8．已知函数1()1xefxlnx．（1）求函数()fx的单调区间；（2）解关于x的不等式11()()2fxxx题型七：虚设零点例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)ln()fxxaxaxaR．(1)求函数()yfx的单调区间；(2)当1a时，证明：对任意的0x，2()2xfxxxe．例20．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数lnfxxxm.(1)若fx在区间1,e上有极小值，求实数m的取值范围；(2)求证：3e1xfxxmx.例21．（2023·全国·模拟预测）已知函数2e2xfxmxnmxmnx在=1x处取得极小值11e．(1)求实数,mn的值；(2)当0,x时，证明：16ln9fxxx．变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数ln1,Rfxxaa．当0,1a时，证明：1eexaxfx．变式10．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数e1()xfxx.(1)求函数fx的单调区间；(2)证明：当0x时，ln1fxxx.题型八：同构法例22．已知函数()1fxaxlnxx，aR．（1）讨论()fx的单调区间；（2）当1pq时，证明qlnplnqplnqlnp．例23．已知函数2()2()1afxlnxaRx．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当2a时，求证：()0fx在(1,)上恒成立；（3）求证：当0x时，2(1)1xxlnxe．例24．已知函数()1()fxaxlnxaR．（1）当2a时，求函数()fx的单调区间；（2）若函数()fx在1x处取得极值，对(0,)x，()2fxbx…恒成立，求实数b的取值范围；（3）当1xye时，求证：(1)(1)xylnxelny．变式11．已知函数()1()fxaxlnxaR．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数()fx在1x处取得极值，不等式()2fxbx…对(0,)x恒成立，求实数b的取值范围；（3）当xye时，证明不等式xyelnyelnx．题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理例25．（2023·全国·高三专题练习）证明不等式：21128xxx(0)x．例26．（2023·全国·高三专题练习）证明：23ln(1)23xxxx(11)x例27．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列na满足2211102nnnnnaaaannn，且11a.（函数fx求导n次可用nfx表示）(1)求na的通项公式.(2)求证：对任意的*Nn，0x，都有1e1nxiiiax.变式12．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数1ln1fxxax.(1)若0fx，求实数a的值；(2)已知*nN且2n，求证：111ln23nn.变式13．已知函数2()fxxlnxax．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若2()2fxx„，对[0x，)恒成立，求实数a的取值范围；（3）当1a时2,1xfxgxxex设．若正实数1，2满足121，1x，2(0x，12)()xx，证明：11221122()()()gxxgxgx．变式14．（2023·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数fx可导，我们通常把导函数fx的导数叫做fx的二阶导数，记作fx．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作fx，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，n1阶导数的导数叫做n阶导数，记作1,4nnfxfxn．②若nN，定义!12321nnnn．③若函数fx在包含0x的某个开区间,ab上具有n阶的导数，那么对于任一,xab有230000000001!2!3!!nnfxfxfxfxgxfxxxxxxxxxn，我们将gx称为函数fx在点0xx处的n阶泰勒展开式．例如，xye在点0x处的n阶泰勒展开式为21112!nxxxn．根据以上三段材料，完成下面的题目：（1）求出1sinfxx在点0x处的3阶泰勒展开式1gx，并直接写出2cosfxx在点0x处的3阶泰勒展开式2gx；（2）比较（1）中1fx与1gx的大小．（3）已知xye不小于其在点0x处的3阶泰勒展开式，证明：sincos22xexxx．题型十：分段分析法、主元法、估算法例28．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数2e1xfxax．（1）讨论函数fx的导函数的单调性；（2）若274ea，求证：对0x，312fxxx≥恒成立．例29．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数()(1)lnfxmxm