重难点突破09 函数零点问题的综合应用 （八大题型）（原卷版）

重难点突破09函数零点问题的综合应用目录1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x轴(或直线yk)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.2、函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将fx整理变形成fxgxhx的形式，通过,gxhx两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.4、利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.题型一：零点问题之一个零点例1．（2023·江苏南京·南京市第十三中学校考模拟预测）已知函数lnfxx,21212gxxx.（1）求函数3xgxfx的单调递减区间；（2）设hxafxgx，aR.①求证：函数yhx存在零点；②设0a，若函数yhx的一个零点为m.问：是否存在a，使得当0,xm时，函数yhx有且仅有一个零点，且总有0hx恒成立？如果存在，试确定a的个数；如果不存在，请说明理由.例2．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知函数()esin1xfxax，22cossin2exxagxaxx，fx在0,上有且仅有一个零点0x.(1)求a的取值范围；(2)证明：若12a，则gx在,0上有且仅有一个零点1x，且010xx.例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1lnexxfxax.(1)当1a时，求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；(2)证明：当0a时，fx有且只有一个零点；(3)若fx在区间0,1,1,各恰有一个零点，求a的取值范围.变式1．（2023·广东茂名·高三统考阶段练习）已知0a，函数exfxxa，lngxxxa.(1)证明：函数fx，gx都恰有一个零点；(2)设函数fx的零点为1x，gx的零点为2x，证明12xxa.题型二：零点问题之二个零点例4．（2023·海南海口·统考模拟预测）已知函数2()exfxx.(1)求()fx的最小值；(2)设2()()(1)(0)Fxfxaxa.（ⅰ）证明：()Fx存在两个零点1x，2x；（ⅱ）证明：()Fx的两个零点1x，2x满足1220xx.例5．（2023·甘肃天水·高三天水市第一中学校考阶段练习）已知函数2()ln(21)fxxaxax．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当0a时，2()(1)()1gxxfxx，证明：函数()gx有且仅有两个零点，两个零点互为倒数．例6．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考期中）已知函数2()ln(21)fxxaxax．（1）若函数()fx在1x处取得极值，求曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程；（2）讨论函数()fx的单调性；（3）当0a时，2()(1)()1gxxfxx，证明：函数()gx有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()lnxfxexa.（1）若3a.证明函数()fx有且仅有两个零点；（2）若函数()fx存在两个零点12,xx，证明：121222xxxxeeea.变式3．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数()ln()fxxaxaR在其定义域内有两个不同的零点．（1）求a的取值范围；（2）记两个零点为12,xx，且12xx，已知0，若不等式21ln1ln10xx恒成立，求的取值范围．变式4．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数4212fxaxx，,()0x，gxfxfx．(1)若0a，求证：（ⅰ）fx在()fx的单调减区间上也单调递减；（ⅱ）gx在(0,)上恰有两个零点；(2)若1a，记gx的两个零点为12,xx，求证：1244xxa．题型三：零点问题之三个零点例7．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数21lnln1exaxfxxa有三个零点.(1)求a的取值范围；(2)设函数fx的三个零点由小到大依次是123,,xxx.证明：13eexxa.例8．（2023·广东深圳·校考二模）已知函数1()ln1xfxaxx.(1)当1a时，求()fx的单调区间；(2)①当102a时，试证明函数()fx恰有三个零点；②记①中的三个零点分别为1x，2x，3x，且123xxx，试证明22131(1)(1)xxax.例9．（2023·广西柳州·统考三模）已知3()1lnfxxaxx．（1）若函数()fx有三个不同的零点，求实数a的取值范围；（2）在（1）的前提下，设三个零点分别为123,,xxx且123xxx，当132xx时，求实数a的取值范围．变式5．（2023·贵州遵义·遵义市南白中学校考模拟预测）已知函数32113fxxaxbx（a，bR）.（1）若0b，且fx在0，内有且只有一个零点，求a的值；（2）若20ab，且fx有三个不同零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.变式6．（2023·浙江·校联考二模）设e2a，已知函数22e22xfxxaxx有3个不同零点.(1)当0a时，求函数fx的最小值：(2)求实数a的取值范围；(3)设函数fx的三个零点分别为1x、2x、3x，且130xx，证明：存在唯一的实数a，使得1x、2x、3x成等差数列.变式7．（2023·山东临沂·高三统考期中）已知函数ln()xfxx和()exaxgx有相同的最大值.(1)求a，并说明函数()()()hxfxgx在（1，e）上有且仅有一个零点；(2)证明：存在直线yb，其与两条曲线()yfx和()ygx共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.题型四：零点问题之max，min问题例10．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数2sincos,lnπxfxxxxaxgxx．(1)当0a时，求函数fx在π,π上的极值；(2)用max,mn表示,mn中的最大值，记函数max,(0)hxfxgxx，讨论函数hx在0,上的零点个数．例11．（2023·四川南充·统考三模）已知函数21()sincos2fxxxxax，()lnπxgxx．(1)当0a时，求函数()fx在[,]上的极值；(2)用max{,}mn表示m，n中的最大值，记函数()max{(),()}(0)hxfxgxx，讨论函数()hx在(0,)上的零点个数．例12．（2023·四川南充·统考三模）已知函数2e2xaxxfxx，lngxx其中e为自然对数的底数.(1)当1a时，求函数fx的极值；(2)用max,mn表示m，n中的最大值，记函数max,(0)hxfxgxx，当0a时，讨论函数hx在0,上的零点个数.变式8．（2023·广东·高三专题练习）已知函数()lnfxx，31()4gxxax，Ra.(1)若函数()gx存在极值点0x，且10gxgx，其中10xx，求证：1020xx；(2)用min{,}mn表示m，n中的最小值，记函数()min{()hxfx，()}(0)gxx，若函数()hx有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围.变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()e(R)xfxaxa，1gxx．(1)若直线ygx与曲线yfx相切，求a的值；(2)用min,mn表示m，n中的最小值，讨论函数()min{(),()}hxfxgx的零点个数．变式10．（2023·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数31,1ln4fxxaxgxxx.(1)若过点1,0可作fx的两条切线，求a的值.(2)用min,mn表示,mn中的最小值，设函数min,(01)hxfxgxx，讨论hx零点的个数.题型五：零点问题之同构法例13．已知函数1()()2(0)xaxfxxlnaxae，若函数()fx在区间(0,)内存在零点，求实数a的取值范围例14．已知2()12afxxlnxx．（1）若函数()()cossin1gxfxxxxxlnx在(0,]2上有1个零点，求实数a的取值范围．（2）若关于x的方程2()12xaaxefxxax有两个不同的实数解，求a的取值范围．例15．已知函数()(1)1xfxaelnxlna．（1）若1a，求函数()fx的极值；（2）若函数()fx有且仅有两个零点，求a的取值范围．题型六：零点问题之零点差问题例16．已知关于x的函数()yfx，()ygx与()(hxkxbk，)bR在区间D上恒有()()()fxhxgx厖．（1）若2()2fxxx，2()2gxxx，(,)D，求()hx的表达式；（2）若2()1fxxx，()gxklnx，()hxkxk，(0,)D，求k的取值范围；（3）若42()2fxxx，2()48gxx，342()4()32(0||2)hxttxttt„，[Dm，][2n，2]，求证：7nm„．例17．已知函数32()(3)xfxxxaxbe．（1）如3ab，求()fx的单调区间；（2）若()fx在(,)，(2,)单调增加，在(,2)，(,)单调减少，证明：6．例18．已知函数221()2xfxaexax，aR．（1）当1a时，求函数2()()gxfxx的单调区间；（2）当4401ae，时，函数()fx有两个极值点1x，212()xxx，证明：212xx．题型七：零点问题之三角函数例19．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知函数sinln1fxaxx．(1)若对1,0x时，0fx，求正实数a的最大值；(2)证明：221sinln2nkk；(3)若函数1esinxgxfxax的最小值为m，试判断方程1eln10xmx实数根的个数，并说明理由．例20．（2023·全国