重难点突破10 利用导数解决一类整数问题 （四大题型）（原卷版）

重难点突破10利用导数解决一类整数问题目录利用导数解决一类整数问题常见技巧有：1、分离参数、分离函数、半分离2、直接限制法3、虚设零点4、必要性探路题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离例1．（2023·贵州·校联考一模）已知ln1fxxaxaR．(1)讨论fx的单调性；(2)若212fxaxx对0,x恒成立，求整数a的最小值．例2．（2023·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知函数2exfxxa.(1)若函数fx在0,2上有两个零点，求实数a的取值范围；(2)当1,13x时，关于x的不等式1lnfxxx≤恒成立，求整数a的最小值.例3．（2023·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知函数2()42ln3()fxaxxaR.(1)讨论函数fx的单调性；(2)若a为整数，且22ln2fxxx恒成立，求a的最大值.变式1．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）已知函数lnxfxx(1)判断fx的单调性，并比较20212020与20202021的大小；(2)当0x时，不等式e1e10xxffkx恒成立，求整数k的最大值．变式2．（2023·天津河北·统考一模）已知函数ln2fxxx.(1)求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；(2)讨论函数fx的单调性；(3)若对任意的1,x，都有ln1xxxkx成立，求整数k的最大值.变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()lnfxx.(1)若函数()kyfxx在21,e上有两个不同的零点，求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得对任意的1,2x，都有函数()kyfxx的图象在e()xgxx的图象的下方？若存在，请求出最大整数k的值；若不存在，请说理由.（参考数据：12ln20.6931,e1.6487）变式4．（2023·云南·校联考三模）设函数e,1xfxxaxa，若存在唯一整数0x，使得00fx，则a的取值范围是________.变式5．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若关于x的不等式22ln1kxxx的解集中恰有2个整数，则k的取值范围是______．变式6．（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知函数1lnexfxxm，满足f（x）＜0恒成立的最大整数m的值为___．变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e(31)xfxxaxa，其中1a，若存在唯一的整数0x，使得0()0fx，则实数a的取值范围是____.变式8．（2023·全国·高三专题练习）若对0x，关于x的不等式21ln12mxmxxx恒成立，则整数m的最小值为___________.题型二：整数解问题之直接限制法例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数ee0xxfxaxaxaa，若有且仅有两个整数1,2ixi，满足0ifx，则实数a的取值范围为__________．例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数211R2mfxxmxm.(1)求函数fx在区间1,2上的最大值；(2)若m为整数，且关于x的不等式lnfxx恒成立，求整数m的最小值.例6．（2023·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知函数lnRfxxmxm.(1)讨论函数fx的单调性；(2)若m为整数，且关于x的不等式22112mfxxmx恒成立，求整数m的最小值.变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数ln1fxxx.（Ⅰ）求函数fx的单调区间；（Ⅱ）求证：曲线yfx在点00,xfx处的切线不经过原点；（Ⅲ）设整数k使得12xkxf对0,x恒成立，求整数k的最大值.题型三：整数解问题之虚设零点例7．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数2e10axfxxa，ln1gxxbx.(1)求函数fx的单调区间；(2)若对任意的1,a，不等式1fxgxx在0,x上恒成立，求整数b的最大值.例8．（2023·河北石家庄·高三校联考期末）已知函数2e3xfxxax的图象在1x处的切线方程为e2yxb．(1)求a，b的值；(2)若关于x的不等式fxm对于任意1,x恒成立，求整数m的最大值．（参考数据：ln102.3）例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数lnxafxx．(1)求函数fx的极值；(2)若a为整数，且函数11exgxafx有4个零点，求a的最小值．变式10．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知函数elnxfxxaxa.(1)讨论函数1gxfxxa的单调性；(2)若1a，且存在整数k使得fxk恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：ln20.69，ln31.10）变式11．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数1ln2e4ee2xfxaxxa.(1)当=0a时，求曲线=yfx在1,1f处的切线方程；(2)若a为整数时，当12x时，0fx恒成立，求a的最小值.（参考数据：ln20.6931，ln31.0998，e2.7182…）题型四：整数解问题之必要性探路例10．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）对于定义在D上的函数()Fx，若存在0xD，使得00Fxx，则称0x为()Fx的一个不动点．设函数()(1)elnxfxxaxx，已知001xx为函数()fx的不动点．(1)求实数a的取值范围；(2)若Zk，且0kxa对任意满足条件的0x成立，求整数k的最大值．（参考数据：ln20.693，ln31.1，23e1.95，2e7.39，32e4.48）例11．（2023·全国·高三专题练习）已知0a，函数2exfxax，lngxx．(1)若e02a，求证：fx在R上是增函数；(2)若存在a，使得fxgxb对于任意的0x成立，求最大的整数b的值．例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()e3xfxax.(1)当1a时，求()fx的最小值；(2)若()exfxa在(0,)上恒成立，求整数a的最小值.变式12．（2023·上海·高三专题练习）2()ln(12)1fxxmxmx，对0x，()0fx„，求整数m的最小值．