重难点突破11 导数中的同构问题（六大题型）（解析版）

重难点突破11导数中的同构问题目录方法技巧总结一、常见的同构函数图像函数表达式图像函数表达式图像lnyxxlnyxx函数极值点1,1lnyxx函数极值点11,eelnxyx函数极值点1,eelnxyx函数极值点,eexyex过定点0,1xyex函数极值点0,1xyxe函数极值点11,exeyx函数极值点1,exxye函数极值点11,e方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程0fa和0fb呈现同构特征，则,ab可视为方程0fx的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．同构小套路①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：xfxxe，xfxex；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、x、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．（3）在解析几何中的应用：如果1122,,,AxyBxy满足的方程为同构式，则,AB为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于,nan与1,1nan的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解3、常见的指数放缩：)1();0(1xexexxexx4、常见的对数放缩：)(ln);1(1ln11exexxxxxx5、常见三角函数的放缩：xxxxtansin,2,06、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：（1）0a当且1,0ax时，有logaxax（2）当0a且1a时，有logxaax再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中0x）（3）lnee;lnlnexxxxxxxx（4）ln:lnlnxxxxeeexxxx（5）22ln2ee;2lnlnexxxxxxxx（6）2ln2ln22,xxxxxxeeeexx再结合常用的切线不等式lnxx-1，ln,e1,eeexxxxxx等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：（7）lneeln1xxxxxx；lnlnee1xxxxxx（8）lneee(ln)xxxxxx；1lnlnxxxxexxxexee7、同构式问题中通常构造亲戚函数xxe与lnxx，常见模型有：①1lnlnlnlnloglnlnlnlnlnlnxxaxaxeaxaxexaexxxexaxaea；②lnln1lnlnlnlnxxxxxxeexxexxxexexxe；③ln1ln11ln1ln1xaxeaxxxexaxx8、乘法同构、加法同构（1）乘法同构，即乘x同构，如lnlnlnlnlnlnlnxaxaxaexxaexe；（2）加法同构，即加x同构，如loglogloglogaxxxaaaaxaxxxax，（3）两种构法的区别：①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数xxe与lnxx易实现，但构造的函数xxe与lnxx均不是单调函数；②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；题型一：不等式同构例1．（2023·四川达州·高二校考阶段练习）已知1,,,eabc，且ln55lnaa，ln33lnbb，ln22lncc，则（）A．bcaB．cbaC．acbD．abc【答案】A【解析】设函数()lnfxxx，()1lnfxx，当1,,()0exfx，此时()fx单调递增，当10,,()0exfx，此时()fx单调递减，由题ln55lnaa，ln33lnbb，ln22lncc，得11111111lnln,lnln,lnlnln55332244aabbcc，因为1111543e，所以111111lnlnln554433，则lnlnlnaaccbb，且1,,,eabc，所以acb.故选：A.例2．（2023·湖北黄石·高二校考期中）已知,,(1,)abc．且2ln22ln12aa，212ln1ebb，2lnπ2ln1πcc，则（）A．bacB．bcaC．abcD．cab【答案】B【解析】令lnxgxx，则21lnxgxx，即gx在e,+上单调递减，∴lnelnπln4eπ4，即lnelnπln2eπ2，设22ln11fxxxx，则221220xfxxxx，即fx在1,上单调递增，又∵fbfcfa，∴bca.故选：B.例3．（2023·陕西榆林·高二校考期末）已知a，b，(0,1)c，且5lnln5aa，4lnln4bb，3lnln3cc，则a，b，c的大小关系是（）A．bcaB．acbC．abcD．cba【答案】C【解析】构造函数11()ln((0,))()1xfxxxxfxxx，当01x时，()0,()fxfx单调递减，当1x时，()0,()fxfx单调递增，5lnln5ln5ln5()(5)aaaafaf，4lnln4ln4ln4()(4)bbbbfbf，3lnln3ln3ln3()(3)ccccfcf，因为5431，所以(5)(4)(3)fff，即()()()fafbfc，而a，b，(0,1)c，所以abc，故选：C变式1．（2023·河南·高二校联考期中）已知0.5ln2a，0.4ln5ln2b，8ln3ln29c，则a，b，c的大小顺序是（）A．abcB．bacC．cbaD．acb【答案】D【解析】因为ln22a，5ln252b，9ln494c，构造函数ln,0xfxxx，其导函数21lnxfxx，令21ln=0xfxx，解得：xe，列表得：x0,ee,efx+0-fx极大值1e所以lnxfxx在0,e上单增.因为950242e，所以95242fff，即acb故选:D.变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知0πxy，且esinesinyxxy，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）A．cocos0sxyB．coscos0xyC．cossinxyD．sinsinxy【答案】B【解析】构造sinexxfx，0πx，则sin0exxfx恒成立，则cossinexxxfx，当π04x时，cossinxx，cossin0exxxfx，当ππ4x时，cossinxx，cossin0exxxfx所以sinexxfx在π0,4单调递增，在π,π4单调递减，因为0πxy，所以π0π4xy，0eexy，又sinsin0eexyxy，所以0sinsinxy，D错误，因为π0π4xy，所以2cos1sin0xx，2cos1sinyy，所以coscosxy，所以coscos0xy，A错误，B正确.令π2gxfxfx，则π04g，π2ππ22sincoseeπcossinsincos2eeexxxxxxxxxxgxfxfx当0πx时，0gx恒成立，所以π2gxfxfx在0,π上单调递增，当π0,4x时，π02gxfxfx，即π2fxfx，因为fxfy，所以π2fyfx因为π0π4xy，所以ππ24x，因为fx在π,π4单调递减，所以π2yx，即π2xy因为cosxx在0,π上单调递减，所以πcoscossin2xyy，C错误故选：B变式3．（2023·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）已知函数()fx的导数()fx满足()(1)()0fxxfx对xR恒成立，且实数x，y满足(1)()(1)()0xfxyfy，则下列关系式恒成立的是（）A．331111xyB．xyeeC．xyxyeeD．sinsinxyxy【答案】D【解析】令(1)()gxxfx，则()(1)()0gxfxxfx，所以函数gx单调递增，又(1)()(1)()0xfxyfy，所以(1)()(1)()xfxyfy，所以xy，对于A，当2x，=2y时，31119x，31117y，此时331111xy，故A错误；对于B，由指数函数的单调性可得xyee，故B错误；对于C，当0x，1y时，0xxe，11yyeee，此时xyxyee，故C错误；对于D，令sinhxxx，则1cos0hxx，所以函数hx单调递增，所以sinsinxxyy即sinsinxyxy，故D正确.故选：D.题型二：同构变形例4．（2023·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．(1)2log20kxxk；(2)21eln0xx；(3)2lne0mxxxm；(4)1e12lnaxaxxx；(5)ln1212exaxxax；(6)lne(1)xaxaxxx；(7)e2ln0xxx；(8)2eln0xxx．【解析】(1)显然0x，则2log222log20log2(log)22xkxkxkxxkxxkxxkx，()2xfxx.(2)显然0x，则2222ln11eln0eln2eln2e(ln)e2xxxxxxxxxxxx，()exgxx.(3)显然0x，则2lne0lnelnln(ln)lnmmxxmmmxxmxxxxxxx，l(n)hxxx.(4)显然0x，则22221(e1)2()lne2ln2lnlnlnaxaxaxxaxaxxxxxxxx22ln2elnelnaxxaxaxxx，()exuxxx.(5)ln(1)2(1)2eln(1)2(1)lne2exxxaxxaxaxxa，()ln2vxaxx.(6)1x，lneelnelnelnxaxaaxxaaxaxxxxxxx，()lnrxxx.(7)e2ln0elnelnelnxxxxxxxxxxx，()lnxxx.(8)2ln1111eln0eelnelnelnxxxxxxxxxxxxxxx，()lnxxx