重难点突破12 导数中的“距离”问题（七大题型）（原卷版）

重难点突破12导数中的“距离”问题目录导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方法之一是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值．题型一：曲线与直线的距离例1．（2023·浙江·高二校联考期中）已知函数223ln3fxxtxt，其中Rt，若存在0x，使得0910fx成立，则实数0xt的值为_________.例2．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中阶段练习）已知实数,,,abcd满足2ln21badc，，则22acbd的最小值______.例3．（2023·辽宁锦州·高二校联考期中）若实数abcd,,,满足223ln(2)0baacd，则22()()acbd的最小值为_____．变式1．（2023·江西鹰潭·高二统考期末）若实数a，b，c，d满足24ln220baacd，则22acbd的最小值为___．变式2．（2023·江苏苏州·高二苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）实数abcd,,,满足：22e20abcd，则22()()acbd的最小值为________变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2632()2e6e10xxfxxaxaa的最小值是110，则a的值是_______变式4．（2023·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）已知函数222ln2fxxaxa，其中0xaR，，存在0x，使得045fx成立，则实数a=_______.变式5．（2023·湖北孝感·高二校联考阶段练习）设22,ln10,ababababR，当a，b变化时，则,ab的最小值______．题型二：曲线与点的距离例4．（2023·全国·高三专题练习）若点(,0)At与曲线exy上点P的距离的最小值为23，则实数t的值为A．ln243B．ln242C．ln333D．ln332例5．（2023·全国·高三专题练习）若点0,At与曲线lnyx上点B距离最小值为23，则实数t为A．ln23B．ln32C．1ln332D．1ln222例6．（2023·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点(,0)At，P为曲线xye上动点，若点A，P间距离的最小值为6，则实数t的值为（）A．5B．52C．ln222D．ln322题型三：曲线与圆的距离例7．（2023·福建龙岩·高三统考期末）已知P为函数lnyx图象上任意一点，点Q为圆22211xye上任意一点，则线段PQ长度的最小值为___．例8．（2023·上海·高二专题练习）对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称||PQ的最小值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线:Syx和曲线2:1(3)Tyx，则曲线S与曲线T的距离为（）A．1112B．112C．21D．2例9．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为函数()lnfxx的图象上任意一点，点Q为圆2211ee4xy上任意一点，则线段PQ长度的最小值为（）A．2ee1eB．22e1e2eC．2e1e2eD．11ee2变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为函数()lne(2)fxxx图像上任意一点，点Q为圆221e11exy上任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（）A．21e(1e)eeB．22e1eeC．2e1eeD．2ee1e变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为函数()xfxe的图象上任意一点，点Q为圆22(1)1xy上任意一点，则线段PQ长度的最小值为（）A．21B．1C．2D．31题型四：曲线与抛物线的距离例10．（2023·全国·高三专题练习）设2222(,)()ln(0,)44bbababaabR，当a，b变化时，(,)ab的最小值为_______.例11．（2023·全国·高三专题练习）设22D22xxaeaa,其中2.71828e，则D的最小值为A．2B．3C．21D．31例12．（2023·全国·高三专题练习）设2222ln144aaDxax.aR，则D的最小值为A．22B．1C．2D．2题型五：曲线与曲线的距离例13．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点P在曲线ln1yx上，点Q在曲线1xye上，则PQ的最小值为___________.例14．（2023·四川成都·高二棠湖中学校考阶段练习）设点P在曲线1e2xy上，点Q在曲线ln(2)yx上，则||PQ的最小值为__________．例15．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点P在曲线lnyx上，点Q曲线xye上，则PQ的最小值为________．变式8．（2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线221xye上，点Q在曲线1ln1yx上，则|PQ|的最小值为_____.变式9．（2023·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设点P在曲线21(0)yxx上，点Q在曲线1(1)yxx上，则||PQ的最小值为__________.则|PQ|的最小值等于3232284.变式10．（2023·黑龙江大兴安岭地·高三校考阶段练习）设点P在曲线()xyaae上，点Q在曲线logayx上，若min22||PQe，则a的取值范围是___________.变式11．（2023·福建南平·统考模拟预测）,AB分别是函数1exy和1yx图象上的点，若AB与x轴平行，则AB的最小值是（）A．1ln22B．1ln22C．3ln22D．3ln22变式12．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）设点P在曲线11e2xy上，点Q在曲线ln(22)yx上，则PQ的最小值为（）A．1ln2B．2(1ln2)C．1ln2D．2(1ln2)题型六：横向距离例16．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期中）已知函数xfxe，1ln22xgx的图象分别与直线0ymm交于,AB两点，则AB的最小值为（）A．2B．2ln2C．21+2eD．32ln2e例17．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）直线ya分别与直线33yx，曲线2lnyxx交于A，B两点，则||AB的最小值为A．43B．1C．D．4例18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线1C：2ytx(0,0)yt在点4(,2)Mt处的切线与曲线2C：xye相切，若动直线ya分别与曲线1C、2C相交于A、B两点，则AB的最小值为A．ln313B．ln313C．1ln22D．1ln22变式13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一中学校校考三模）已知函数22ln2fxxxx，函数12gxx，直线yt分别与两函数交于A、B两点，则AB的最小值为（）A．12B．1C．32D．2变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()exfx，1g()ln2xx的图像分别与直线yb交于A，B两点，则||AB的最小值为（）A．1B．12eC．2ln22D．ln3e2变式15．（2023·江苏·高二专题练习）函数exfx，1ln22xgx的图象与直线ym分别交于A，B两点，则AB的最小值为（）A．21e2B．32eln2C．2ln2D．2变式16．（2023·全国·高三专题练习）设直线ya与函数()xfxe，()gxx的图像分别交于A，B两点，则AB的最小值为（）A．12ln22B．11ln222C．12ln22D．11ln222题型七：纵向距离例19．（2023·全国·高三专题练习）直线xa分别与曲线lnfxxx和曲线22gxxx交于A，B两点，则AB的最小值为A．114B．2C．324D．51ln222例20．（2023·高二课时练习）动直线xm（0m）与函数2()fxxx，()lngxx的图象分别交于点A，B，则AB的最小值为（）A．3ln24B．3ln2C．3ln22D．3ln2例21．（2023·高一课时练习）已知函数()sin(2)3fxx，将()yfx的图象向右平移3个单位长度后得到函数()gx的图象，若动直线xt与函数()yfx和()ygx的图象分别交于M，N两点，则||MN的最大值为A．2B．3C．1D．12变式17．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知直线xa与函数1fxx，ln21gxx的图像分别交于A，B两点，则AB的最小值为（）A．1ln22B．1ln3C．32ln22D．3ln22变式18．（多选题）（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若直线xa与两曲线exy、lnyx分别交于A、B两点，且曲线exy在A点处的切线为m，曲线lnyx在B点处的切线为n，则下列结论正确的有（）A．存在0,a，使//mnB．当//mn时，AB取得最小值C．AB没有最小值D．2ln2logeAB变式19．（2023·全国·高三专题练习）直线0xaa分别与直线33yx，曲线2lnyxx交于A、B两点，则AB的最小值为__________．