重难点突破13 多元函数最值问题（十二大题型）（解析版）

重难点突破13多元函数最值问题目录解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．题型一：消元法例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足lnelnxxyy，则exy的最大值为______.【答案】21e/2e【解析】由lnelnxxyy得lnexxyy，所以lnexxxxyy，则lnelnexxyxxy，因为0x，e0x，lne0xy，所以ln0xy，令0()exfxxx，则()e(1)0xfxx，所以fx在0,上单调递增，所以由lnelnexxyxxy，即lnxfxfy，得lnxxy，所以exxy，所以11eeeexxxxxxy，令1()0exxgxx，则2()exxgx，令()0gx，得02x；令()0gx，得2x，所以()gx在0,2上单调递增，在2,上单调递减，所以max21()(2)egxg，即exy的最大值为21e．故答案为：21e．例2．（2023·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习）已知实数,mn满足：e(1)ln(1)(0)mmnntt，则ln(1)tmn的最大值为___________.【答案】1e【解析】由已知得，0,10,ln10mnn，令e(0)xfxxx，则'e10xfxx，()fx\在0,上单调递增，又因为e(1)ln(1)mmnn，所以ln1,fmfnln1mn，1(1)ln1,mnnntlnln1ttmnt，令ln(0),tgttt所以'21lntgtt，则当(0,e)t时，'()0gt，()gt单调递增；当(e,)t时，'()0gt，()gt单调递减；所以max1()(e)egtg.故答案为：1e.例3．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）对任给实数0xy,不等式222()xycxyx恒成立,则实数c的最大值为__________.【答案】224【解析】因为对任给实数0xy,不等式222()xycxyx恒成立，所以2222222xyxycxyxxxyy，令1xty，则222()tcfttt，2222242(22)(22)()ttttfttttt，当22t时，()0ft，函数()ft单调递增；当122t时，()0ft，函数()ft单调递减，所以当22t时，()ft取得最小值，(22)224f，所以实数c的最大值为224故答案为：224题型二：判别式法例4．（2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若,xyR，2241xyxy，则当x______时，xy取得最大值，该最大值为______.【答案】1530/1153041515/41515【解析】令xyt，则ytx，则2222224441xyxtyxtxxttxxx，即22410txtx，由221610tt，解得：4154151515t，故41515xy，故224151541xyxyxy，解得：1530x，71530y，所以当且仅当1530x，71530y时，等号成立，故答案为：1530，41515例5．（2023·全国·高三竞赛）在ABC中，2cos3cos6cosABC，则cosC的最大值为_______________．【答案】1416【解析】令cos,cos,cosAxByCz，则236xyz，即223yzx．因为222coscoscos2coscoscos1ABCABC，所以22222212233xzxzxzxz，整理得22213484510933zxzzxz，2228134Δ44510393zzzz，化简得2413(1)(1)4039zzzz，于是24134039zz，得1416z，所以cosC的最大值为1416．故答案为：1416.例6．（2023·高一课时练习）设非零实数a，b满足224ab，若函数21axbyx存在最大值M和最小值m，则Mm_________.【答案】2【解析】化简得到20yxaxyb，根据0和224ab得到2222bby，解得答案.21axbyx，则20yxaxyb，则240ayyb，即22440yyba，224ab，故224440yybb，22220ybyb，即2222bby，即22,22bbmM，2Mm.故答案为：2.变式1．（2023·江苏·高三专题练习）若正实数,xy满足2(21)(52)(2)xyyy，则12xy的最大值为________．【答案】3212【解析】令1,(0)2xtty，则22(22()21)(52)(2)xyytyy，即22(45)(88)80tyty，因此222(88)32(45)02470tttt，解得：32012t，当3212t时，2446283524200451712212216tyxt，，因此12xy的最大值为3212故答案为：3212变式2．（2023·全国·高三专题练习）设,abR，0，若224ab，且ab的最大值是5，则___________.【答案】4【解析】令ab=d，由224abdab消去a得：22()4dbb，即22(1)240bdbd，而bR，0，则22(2)4(1)(4)0dd，24(1)d，1122d，依题意125，解得4.故答案为：4题型三：基本不等式法例7．设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数222,,xyyzfxyzxyz的最大值是_____.【答案】22【解析】引入正参数λ、μ.因为2222xyxy…，2222yzyz…，所以，22122xyxy„，22122yzyz„.两式相加得222112222xyyzxyz„.令112222，得2，12故22222xyyzxyz„.因此，222,,xyyzfxyzxyz的最大值为22.例8．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）若实数,xy满足2221xxyy，则222522xyxxyy的最大值为________.【答案】24【解析】由2221xxyy，得(2)()1xyxy，设12,xytxyt，其中0t.则1121,3333xtyttt，从而2222112,522xytxxyyttt，记1utt，则22225222xyuxxyyu，不妨设0u，则1122422uuuu,当且仅当2uu，即2u时取等号，即最大值为24.故答案为：24.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知正数,,abc，则2222abbcabc的最大值为_________．【答案】64【解析】2222222161224222222233333abbcabbcabbcabcabbcabbc（当且仅当323ab，63bc时取等号），2222abbcabc的最大值为64.故答案为：64.题型四：辅助角公式法例10．（2023·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则sinsincos的范围是______________．【答案】31,2【解析】因为角、均为锐角，所以sin,cos,sin,cos的范围均为0,1，所以sincoscossinsiisnnsni，所以πsinsincossincos2sin4因为ππππ3π0,0,22444，所以π22sin2142，sinsincossinsincoscossinsin22=1sinsincoscossin1sincossin=21sinsin，当且仅当1sincos=sincos时取等，令1sint，0,1t，2sin1t，所以=21sinsin2223321222ttt.则sinsincos的范围是：31,2.故答案为：31,2例11．cos()coscos1y的取值范围是．【答案】1[4,]2【解析】coscossinsincoscos1y(cos1)cos(sin)sin(cos1)22(cos1)sinsin()(cos1)22cossin()(cos1)因为sin()[1,1]，所以22cos(cos1)22cos(cos1)y剟，令1cost，则[0,2]t，则2222ttytt剟，所以22212()422yttt厖，（当且仅当2t即cos1时取等）；且222112()222yttt剟，（当且仅当22t即1cos2时取等）．故y的取值范围为1[4,]2．题型五：柯西不等式法例12．（2023·广西钦州·高二统考期末）已知实数ia，ibR，（i＝1，2…，n），且满足222121naaa，222121nbbb，则1122nnababab最大值为（）A．1B．2C．2nD．2n【答案】A【解析】根据柯西不等式，222222212121122nnnnaaabbbabababLLL，故11221nnababab，又当11221...nnabbbnaa时等号成立，故1122nnababab最大值为1故选：A例13．（2023·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知x，y，z是正实数，且5xyz，则2222xyz的最小值为______.【答案】10【解析】由柯西不等式可得22222221112()2xyxyzz，所以22255222xyz，即222102xyz，当且仅当21112xyz即2xyz也即2,1,2xyz时取得等号，故答案为：10例14．（2023·江苏淮安·高二校联考期中）已知2221xyz，3616abc，则222xaybzc的最小值为______.【答案】9【解析】∵22222222236161364abcabcabc∴2224abc,当且仅当136abc时等号成立，即1,3,6abc，∵222222