第01讲 函数的概念（八大题型）（讲义）（原卷版）

第01讲函数的概念目录考点要求考题统计考情分析（1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域．（2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．（3）了解简单的分段函数，并会简单的应用．2022年浙江卷第14题，5分2021年浙江卷第12题，5分高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查不等式与函数的性质．1、函数的概念（1）一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数．记作：)(xfyx，Ax．集合A叫做函数的定义域，记为D，集合)({xfyy，}Ax叫做值域，记为C．（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．2、函数的三要素（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．3、函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．【解题方法总结】1、基本的函数定义域限制求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切tanyx的定义域是,xxR且,2xkxkZ；（6）已知fx的定义域求解fgx的定义域，或已知fgx的定义域求fx的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．2、基本初等函数的值域（1）)0(kbkxy的值域是R．（2）)0(2acbxaxy的值域是：当0a时，值域为}44{2abacyy；当0a时，值域为}44{2abacyy．（3）)0(kxky的值域是}0{yy．（4）0(aayx且)1a的值域是)0(，．（5）0(logaxya且)1a的值域是R．题型一：函数的概念例1．（2023·山东潍坊·统考一模）存在函数fx满足：对任意xR都有（）A．3fxxB．2sinfxxC．22fxxxD．21fxx例2．（2023·重庆·二模）任给2,0u，对应关系f使方程20uv的解v与u对应，则()vfu是函数的一个充分条件是（）A．[4,4]vB．4,2vC．[2,2]vD．4,2v例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，可以表示函数fx的图象的是（）A．B．C．D．变式1．（2023·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线1x的交点个数（）A．至少1个B．至多1个C．仅有1个D．有0个、1个或多个【解题方法总结】利用函数概念判断题型二：同一函数的判断例4．（2023·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）．A．2lgfxx，2lggxxB．1lg1xfxx，lg1lg1gxxxC．11ufuu，11vgvvD．2fxx，2gxx例5．（2023·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）A．2,yxuvB．22,()yxstC．21,11xymnxD．211,1yxxyx例6．（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．()lnxfxe，()gxxB．24(),()22xfxgxxxC．0()fxx，()1gxD．()||fxx，{1x，0，1}，2()gxx，{1x，0，1}【解题方法总结】当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．题型三：给出函数解析式求解定义域例7．（2023·北京·高三专题练习）函数21()1xfxx的定义域为________.例8．（2023·全国·高三专题练习）若229912xxyx，则34xy_________.例9．（2023·高三课时练习）函数223()23log32fxxxxx的定义域为______．变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足2,logbaabab，则函数1()logafxxb的定义域为___________.变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为40cm，底边长ycm是腰长xcm的函数，则函数的定义域为()A．10,20B．0,10C．5,10D．5,10【解题方法总结】对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子fx有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式．题型四：抽象函数定义域例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数11yfx的定义域为{|01}xx，则函数()yfx的定义域为_____例11．（2023·高三课时练习）已知函数fx的定义域为11,22，则函数212yfxx的定义域为______．例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1fx定义域为1,4，则函数1fx的定义域为_______.变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx的定义域为3,6，则函数122log2fxyx的定义域为______变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()fx的定义域为[2,3]，则函数(21)fx的定义域为__________．【解题方法总结】1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若)(xf的定义域为)(ba，，求)]([xgf中bxga)(的解x的范围，即为)]([xgf的定义域，口诀：定义域指的是x的范围，括号范围相同．已知)(xf的定义域，求四则运算型函数的定义域2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．题型五：函数定义域的应用例13．（2023·全国·高三专题练习）若函数223()1xfxaxax的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．例14．（2023·全国·高三专题练习）已知2()ln1fxxax的定义域为R，那么a的取值范围为_________．例15．（2023·全国·高三专题练习）函数21()43fxaxax的定义域为(,)，则实数a的取值范围是___________.变式6．（2023·全国·高三专题练习）若函数221()22xaxafx的定义域是R，则实数a的取值范围是__________.【解题方法总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．题型六：函数解析式的求法例16．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的解析式：(1)已知21sincosfxx，求fx的解析式；(2)已知2112fxxxx，求fx的解析式；(3)已知fx是一次函数且3121217fxfxx，求fx的解析式；(4)已知fx满足23fxfxx，求fx的解析式.例17．（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求fx的解析式(1)已知fx满足2141fxxx(2)已知fx是一次函数，且满足3129fxfxx；(3)已知fx满足120ffxxxx例18．（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数()fx的解析式．(1)已知12fxxx，则()fx的解析式为__________．(2)已知()fx满足12()3fxfxx，求()fx的解析式．(3)已知(0)1f，对任意的实数x，y都有()()(21)fxyfxyxy，求()fx的解析式．变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知2211()11xxfxx，求()fx的解析式.变式8．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：2fxyfxfyxy的函数解析式为______.变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在0，上的单调函数fx，若对任意0x，都有12log3ffxx，则方程2fxx的解集为_______．【解题方法总结】求函数解析式的常用方法如下：（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．（2）当已知表达式为xgf时，可考虑配凑法或换元法，若易将含x的式子配成xg，用配凑法．若易换元后求出x，用换元法．（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法．（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．（6）若已知成对出现()fx，1()fx或()fx，()fx，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出()fx．题型七：函数值域的求解例19．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的值域（1）34xyx；（2）25243yxx；（3）12yxx；（4）22436xxyxx；（5）2432yxx；（6）12yxx；（7）35yxx；（8）265yxx（9）312xyx；（10）2211()212xxyxx.例20．（2023·全国·高三专题练习）若函数()yfx的值域是1,3，则函数()32(1)gxfx的值域为__．例21．（2023·全国·高三专题练习）函数sin2cos2xyx的值域为_____变式10．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数2245xyx的最大值为______.变式11．（2023·全国·高三专题练习）函数12yxx的值域为______.【解题方法总结】函数值域的求法主要有以下几种（1）观察法：根据最基本函数值域（如2x≥0，0xa及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域．（2）配方法：对于形如20yaxbxca的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形yaxbcxd的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数．（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析．（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如yAxB，2axbxc或22axbxcydxexf的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）．（8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如dcxbaxy或dcxbaxy的函数，当ac0时可利用单调性法．（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，