第01讲 函数的概念（八大题型）（讲义）（解析版）

第01讲函数的概念目录考点要求考题统计考情分析（1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域．（2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．（3）了解简单的分段函数，并会简单的应用．2022年浙江卷第14题，5分2021年浙江卷第12题，5分高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查不等式与函数的性质．1、函数的概念（1）一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数．记作：)(xfyx，Ax．集合A叫做函数的定义域，记为D，集合)({xfyy，}Ax叫做值域，记为C．（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．2、函数的三要素（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．3、函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．【解题方法总结】1、基本的函数定义域限制求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切tanyx的定义域是,xxR且,2xkxkZ；（6）已知fx的定义域求解fgx的定义域，或已知fgx的定义域求fx的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．2、基本初等函数的值域（1）)0(kbkxy的值域是R．（2）)0(2acbxaxy的值域是：当0a时，值域为}44{2abacyy；当0a时，值域为}44{2abacyy．（3）)0(kxky的值域是}0{yy．（4）0(aayx且)1a的值域是)0(，．（5）0(logaxya且)1a的值域是R．题型一：函数的概念例1．（2023·山东潍坊·统考一模）存在函数fx满足：对任意xR都有（）A．3fxxB．2sinfxxC．22fxxxD．21fxx【答案】D【解析】对于A，当1x时，(1)11ff；当=1x时，(1)11ff，不符合函数定义，A错误；对于B,令0x，则sin(0)0fxf，令πx，则2sinπ(0)πff，不符合函数定义，B错误；对于C,令0x，则(0)0f，令2x，则22(2)(0)2(2)ff，不符合函数定义，C错误；对于D,221||1fxxx,xR,则||0x，则存在0x时，2()1fxx，符合函数定义，即存在函数2()1,(0)fxxx满足：对任意xR都有21fxx，D正确，故选：D例2．（2023·重庆·二模）任给2,0u，对应关系f使方程20uv的解v与u对应，则()vfu是函数的一个充分条件是（）A．[4,4]vB．4,2vC．[2,2]vD．4,2v【答案】A【解析】根据函数的定义，对任意[2,0]u，按2vu，在v的范围中必有唯一的值与之对应，2[0,4]u，则2[4,0]u，则v的范围要包含[4,0]，故选：A．例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，可以表示函数fx的图象的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数的定义，对于一个x，只能有唯一的y与之对应，只有D满足要求故选：D变式1．（2023·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线1x的交点个数（）A．至少1个B．至多1个C．仅有1个D．有0个、1个或多个【答案】B【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线1x没有交点，若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线1x有1个交点，故选：B.【解题方法总结】利用函数概念判断题型二：同一函数的判断例4．（2023·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）．A．2lgfxx，2lggxxB．1lg1xfxx，lg1lg1gxxxC．11ufuu，11vgvvD．2fxx，2gxx【答案】C【解析】对于A：2lgfxx的定义域为R，2lggxx的定义域为0,.因为定义域不同，所以fx和gx不是同一个函数.故A错误；对于B：1lg1xfxx的定义域为,11,，lg1lg1gxxx的定义域为1,.因为定义域不同，所以fx和gx不是同一个函数.故B错误；对于C：11ufuu的定义域为1,1，11vgvv的定义域为1,1，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确；对于D：2fxx的定义域为0,，2gxx的定义域为R.因为定义域不同，所以fx和gx不是同一个函数.故D错误；故选：C例5．（2023·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）A．2,yxuvB．22,()yxstC．21,11xymnxD．211,1yxxyx【答案】A【解析】对于A，yx和2uv的定义域都是R，对应关系也相同，是同一个函数，故选项A正确；对于B，函数2yx的定义域为R，函数2()st的定义域为[0,)，定义域不同，不是同一个函数，故选项B错误；对于C，函数211xyx的定义域为{|1}xx，函数1mn的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数，故选项C错误；对于D，函数11yxx的定义域为{|1}xx，函数21yx的定义域为(,1][1,)，定义域不同，不是同一个函数，故选项D错误，故选：A.例6．（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．()lnxfxe，()gxxB．24(),()22xfxgxxxC．0()fxx，()1gxD．()||fxx，{1x，0，1}，2()gxx，{1x，0，1}【答案】D【解析】对于A：()fx的定义域是(0,)，()gx的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于B：()2fxx，(2)x，()gx的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于C：()fx的定义域为{|0}xx，()gx的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于D：()fx对应点的坐标为{(1,1)，(0,0)，(1,1)}，()gx对应点的坐标为{(1,1)，(0,0)，(1,1)}，两个函数对应坐标相同，是同一函数，故选：D．【解题方法总结】当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．题型三：给出函数解析式求解定义域例7．（2023·北京·高三专题练习）函数21()1xfxx的定义域为________.【答案】1xx【解析】令2101xx，可得10x，解得1x.故函数21()1xfxx的定义域为1xx.故答案为:1xx.例8．（2023·全国·高三专题练习）若229912xxyx，则34xy_________.【答案】5或13【解析】由229912xxyx有意义可得2290,90,20xxx，所以3x或3x，当3x时，1y，3413xy，当3x时，1y，345xy，故答案为：5或13.例9．（2023·高三课时练习）函数223()23log32fxxxxx的定义域为______．【答案】1,3【解析】要使函数有意义，则22230320xxxx，解得13x.所以函数的定义域为[1,3).故答案为：[1,3).变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足2,logbaabab，则函数1()logafxxb的定义域为___________.【答案】0,2【解析】由logbaab可得abba，即2abbb，所以22aabb，代入2ab即22bb，解得2b或0b（舍），则4a所以41log2fxx401log02xx解得02x所以函数定义域为0,2故答案为:0,2变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为40cm，底边长ycm是腰长xcm的函数，则函数的定义域为()A．10,20B．0,10C．5,10D．5,10【答案】A【解析】由题设有402yx，由4020402xxxx得1020x，故选A.【解题方法总结】对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子fx有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式．题型四：抽象函数定义域例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数11yfx的定义域为{|01}xx，则函数()yfx的定义域为_____【答案】[1,2]【解析】令11ux，由01x得：10011xx，所以0111112xx，即12u，所以，函数()yfx的定义域为[1,2].故答案为：[1,2]例11．（2023·高三课时练习）已知函数fx的定义域为11,22，则函数212yfxx的定义域为______．【答案】1515,01,22【解析】因为函数()yfx的定义域为11,22，所以在函数212yfxx中，2111222xx，解得1502x或1512x，故函数212yfxx的定义域为1515,01,22.故答案为：1515,01,22.例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1fx定义域为1,4，则函数1fx的定义域为_______.【答案】3,6【解析】因1fx的定义域为1,4，则当14x时，215x，即fx的定义域为2,5，于是1fx中有215x，解得36x，所以函数1fx的定义域为3,6.故答案为：3,6变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx的定义域为3,6，则函数122log2fxyx的定义域为______【答案】3,22【解析】由函数()fx的定义域是3,6，得到326x剟，故1232620log(2)0xxx剟即332212xxx剟.解得:322x„；所以原函数的定义域是：3,22.故答案为：3,22.变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()fx的定义域为[2,3]，则函数(21)fx的定义域为__________．【答案】1[,2]2【解析】由2213x解得122x，所以函数(21)f