第04讲 指数与指数函数（四大题型）（讲义）（解析版）

第04讲指数与指数函数目录考点要求考题统计考情分析（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．2022年甲卷第12题，5分2020年新高考II卷第11题，5分从近五年的高考情况来看,指数运算与指数函数是高考的一个重点也是一个基本点,常与二次函数、幂函数、对数函数、三角函数综合,考查数值大小的比较和函数方程问题.1、指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果nxa，那么x叫做a的n次方根，其中(1n，)nN，记为na，n称为根指数，a称为根底数．(2)根式的性质：当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)naa中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂()nnaaaaanN个；②零指数幂01(0)aa；③负整数指数幂1(0nnaaa，)nN；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①+(0mnmnaaaa，m，)nQ；②()(0mnmnaaa，m，)nQ；③()(0mmmabaab，0b，)mQ；④(0mnmnaaa，m，)nQ．2、指数函数xya01a1a图象性质①定义域R，值域(0)，②01a，即时0x，1y，图象都经过(01)，点③xaa，即1x时，y等于底数a④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤0x时，1xa；0x时，01xa0x时，01xa；0x时，1xa⑥既不是奇函数，也不是偶函数【解题方法总结】1、指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a”和“01a”两种情形讨论．(2)当01a时，x，0y；a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．当1a时x，0y；a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．(3)指数函数xya与1()xya的图象关于y轴对称．【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式a1xy(1,a)1Oa1xy(1,a)1O【例1】（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）737327（）A．9B．19C．3D．39【答案】B【解析】73737773737373233313332739.故选：B.【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（）A．设0,a则4334aaaB．若82m，则m82C．若13aa，则11225aaD．4422【答案】B【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得443325334412aaaaa，选项A错误；对于B，82m，故82m，选项B正确；对于C，13aa，112122()2325aaaa，因为0a，所以11225aa，选项C错误；对于D，44222，选项D错误.故选：B．【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）130.5244233922(2π)21633（）A．πB．2πC．4πD．6π【答案】B【解析】130.524423392242(2π)2π242π163333.故选：B【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x的方程220xxbc，甲写错了常数b，得到的根为2x或x=217log4，乙写错了常数c，得到的根为0x或1x，则原方程的根是（）A．2x或2log3xB．1x或1xC．0x或2xD．=1x或2x【答案】D【解析】令2xt，则方程220xxbc可化为20tctb，甲写错了常数b，所以14和174是方程20tctm的两根，所以1179442c，乙写错了常数c，所以1和2是方程20tntb的两根，所以1b22，则可得方程29202tt，解得12142,tt，所以原方程的根是=1x或2x故选：D【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程19310xxm有解，则实数m的取值范围是（）A．1,B．5,4C．,3D．1,3【答案】A【解析】方程19310xxm有解，2(3)3310xxm有解，令30xt，则可化为2310ttm有正根，则231ttm在0,有解，又当0,t时，230tt所以101mm，故选：A．【对点训练5】（2023·上海青浦·统考一模）不等式23(1)23122xxx的解集为______．【答案】(3,2)【解析】函数2xy在R上单调递增，则22233(1)233(1)212()22233(1)2xxxxxxxxx，即260xx，解得32x，所以原不等式的解集为(3,2).故答案为：(3,2)【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）不等式10631xxx的解集为___________.【答案】1,【解析】由10631xxx，可得1631101010xxx.令163101010xxxfx，因为163101010,,xxxyyy均为R上单调递减函数则fx在R上单调逆减，且11f，1fxf，1x故不等式10631xxx的解集为1,.故答案为：1,.【解题总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()fxab，()fxab，()fxab的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20xxaBaC或2)00(xxaBaC厔的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质【例2】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数22xxafxaR的图象可能为（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a赋值，判断选项.当0a时，2xfx，图象A满足；当1a时，122xxfx，02f，且fxfx，此时函数是偶函数，关于y轴对称，图象B满足；当1a时，122xxfx，00f，且fxfx，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；图象C过点0,1，此时0a，故C不成立.故选：ABD【对点训练7】（2023·全国·高三专题练习）已知22()31xaxafx的定义域为R，则实数a的取值范围是______．【答案】[]1,0﹣【解析】∵22()31xaxafx的定义域为R，∴22131xax0对任意x∈R恒成立，即220313xaxa恒成立，即220xaxa对任意xR恒成立，2440aa，则10a﹣．故答案为[]1,0﹣．【对点训练8】（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数2421xxfx，0,3x，则其值域为_______．【答案】5,31【解析】令2xt，∵0,3x，∴18t，∴2241(2)5gtttt，1,8t又ygt关于2t对称，开口向上，所以gt在1,2上单调递减，在2,8上单调递增，且8221，2t时，函数取得最小值，即min5gt，8t时，函数取得最大值，即max31gt，5,31fx.故答案为：5,31.【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数0,1xfxaaa在1,2内的最大值是最小值的两倍，且31,1log1,01fxxgxxx，则123gg______【答案】3或34【解析】当1a时，函数fx在1,2内单调递增，此时函数fx的最大值为22fa，最小值为1fa，由题意得22aa，解得2a，则321,1log1,01xxgxxx，此时23112log121333gg；当01a时，函数fx在1,2内单调递减，此时函数fx的最大值为1fa，最小值为22fa，由题意得22aa，解得12a，则311,12log1,01xxgxxx，此时2311132log113324gg．故答案为：3或34.【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）函数2(2)xyaa是指数函数，则（）A．1a或3aB．1aC．3aD．0a且1a【答案】C【解析】由指数函数定义知2(2)1a，同时0a，且1a，所以解得3a.故选：C【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）函数2eaxfxb的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（）A．0,1abB．0,01abC．0,1abD．0,01ab【答案】C【解析】若0a，eaxyb为增函数，且,,()xyfx，与图象不符，若0a，eaxyb为减函数，且2,,()xybfxb，与图象相符，所以0a，当()0fx时，eaxb，结合图象可知，此时0x，所0ax，则0ee1ax，所以1b，故选:C.【对点训练12】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()41xfxa-=+（0a且1a）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程40,0mxnymn，则12mn的最小值为（）A．8B．24C．4D．6【答案】C【解析】因为函数410,1xfxaaa图象恒过定点4,2又点A的坐标满足关于x，y的方程40,0mxnymn，所以424mn，即22mn所以12112141424424222mnmnmnmnmnnmnm，当且仅当4mnnm即21nm时取等号；所以12mn的最小值为4．故选：C．【对点训练13】（多选题）（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)nnPPkk，其中nP为预测期人口数，0P为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则（）A．当1,0k，则这期间人口数呈下降趋势B．当1,0k，则这期间人口数呈摆动变化C．当01,23nkPP时，n的最小值为3D．当011,32nkPP时，n的最小值为3【答案】AC【解析】00,011Pk，由指数函数的性质可知：0(1)(1)nnPPkk是关于n的单调递减函数，即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；0014,233nnkPPP，所以423n，所以43log2Nnn，43log22,3