第05讲 对数与对数函数（五大题型）（讲义）（原卷版）

第05讲对数与对数函数目录考点要求考题统计考情分析（1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.（2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.（3）了解指数函数xya与对数函数aylogx(0a，且1a)互为反函数．2022年天津卷第6题，5分2022年浙江卷第7题，5分2022年I卷I卷第7题，5分从近五年的高考情况来看，对数运算与对数函数是高考的一个重点也是一个难点，常与二次函数、幂函数、指数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.1、对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0xaNa且1)a，那么数x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0aa且1)a为底，记为logNa，读作以a为底N的对数；②常用对数：以10为底，记为lgN；③自然对数：以e为底，记为lnN；(3)对数的性质和运算法则：①1log0a；log1aa；其中0a且1a；②logNaaN(其中0a且1a，0N)；③对数换底公式：logloglogcacbba；④log()loglogaaaMNMN；⑤logloglogaaaMMNN；⑥loglog(mnaanbbmm，)nR；⑦logabab和logbaab；⑧1loglogabba；2、对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数logayx(0a且1)a叫做对数函数．对数函数的图象1a01a图象性质定义域：(0)，值域：R过定点(10)，，即1x时，0y在(0)，上增函数在(0)，上是减函数当01x时，0y，当1x时，当01x时，0y，当1x时，0yxyx=1(1,0)xalogOxyx=1(1,0)xalogO0y【解题方法总结】1、对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当01a时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．(见下图)题型一：对数运算及对数方程、对数不等式【例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）1ln343131e81log2______．【对点训练1】（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知lg2ab，10ba，则a______．【对点训练2】（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）方程2lg(2)lg3xx的解集为________．【对点训练3】（2023·山东淄博·统考二模）设0,0pq，满足469logloglog2pqpq，则pq__________.【对点训练4】（2023·天津南开·统考二模）计算34223log32log9loglog64的值为______.【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）若14log2a，145b，用a，b表示35log28____________【对点训练6】（2023·上海·高三校联考阶段练习）若123abm，且112ab，则m__________．【对点训练7】（2023·全国·高三专题练习）226622lg3lg2log3log2lg3lg2=____________；yx11a增大a增大xxxxa4a3a2a1loglogloglogO【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式2)lg(o24xx解集为_____．【对点训练9】（2023·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2logfxx，则2fx的解集是__________.【对点训练10】（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）方程42log17xx的解为_________．【解题方法总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数logayxb（a，b为常数，其中0a且1a）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．0.5a，2bB．2a，2bC．0.5a，0.5bD．2a，0.5b【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）函数()log(1)2afxx的图象恒过定点（）A．(2,2)B．(2,1)C．(3,2)D．(2,0)【对点训练12】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数22log1fxxx，则不等式()0fx的解集为（）A．,12,B．0,12,C．1,2D．1,【对点训练13】（2023·北京·高三统考学业考试）将函数2logyx的图象向上平移1个单位长度，得到函数yfx的图象，则fx（）A．2log1xB．21logxC．2log1xD．21logx【对点训练14】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）不等式32log(1)(2)0xxx的解集为__________．【对点训练15】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）当102x时，4logxax，则a的值可以为（）A．22B．32C．63D．2【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数3()log(1)fxax，若()fx在(,1]上为减函数，则a的取值范围为（）A．(0,)B．(0,1)C．(1,2)D．(,1)【对点训练16】（2023·新疆阿勒泰·统考三模）正数,ab满足2224loglogabba，则a与2b大小关系为______．【对点训练17】（2023·全国·高三专题练习）已知函数log0,1afxxaa在1,4上的最大值是2，则a等于_________【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）若函数()logafxx（0a且1a）在1,42上的最大值为2，最小值为m，函数()(32)gxmx在[0,)上是增函数，则am的值是____________．【对点训练19】（2023·全国·高三专题练习）若函数2()log(1)afxxax有最小值，则a的取值范围是______．【对点训练20】（2023·河南·校联考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数:()fx_____.①1212fxxfxfx;②当,()0x时，()fx单调递减;③()fx为偶函数.【对点训练21】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数214log2yxx的单调递区间为（）A．1,2B．,1C．1,2D．2,【对点训练22】（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数lglg2fxxx，则（）A．fx在0,1单调递减，在1,2单调递增B．fx在0,2单调递减C．fx的图像关于直线1x对称D．fx有最小值，但无最大值【对点训练23】（2023·全国·高三专题练习）若函数2,1,()2log,1xaaxfxaxx在R上单调，则a的取值范围是（）A．0,1B．[2,)C．10,(2,)2D．0,1[2,)【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数29xfxx，2loggxxa，若存在13,4x，任意24,8x，使得12fxgx，则实数a的取值范围是___________.【对点训练24】（2023·全国·高三专题练习）若1,22x，不等式2122log0xxxax恒成立，则实数a的取值范围为___________.【对点训练25】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()23fxxx，2()loggxxm，对任意的1x，2[1x，4]有12()()fxgx恒成立，则实数m的取值范围是___________.【对点训练26】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2223,logfxxxgxxm，若对122,4,16,32xx，使得12fxgx…，则实数m的取值范围为___________.【对点训练27】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2log2log30,1aafxxxaa.(1)若32f，求a的值；(2)若对任意的8,12x，6fx恒成立，求a的取值范围.【对点训练28】（2023·全国·高三专题练习）已知2()32logfxx，2()loggxx.（1）当1,4x时，求函数()1()yfxgx的值域；（2）对任意12,2nnx，其中常数nN，不等式2()()fxfxkgx恒成立，求实数k的取值范围.【解题方法总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题【例5】（多选题）（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知1a，1b，21aaa，2log1bbb，则以下结论正确的是（）A．22logaabbB．21112logabC．2abD．4ab【对点训练29】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知正实数m，n满足：lnelnmnnnm，则nm的最小值为______.【对点训练30】（多选题）（2023·广东惠州·统考一模）若62,63ab，则（）A．1baB．14abC．2212abD．15ba【对点训练31】（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知1x，2x分别是方程e3xx和ln3xx的根，若12xxab，实数a，0b，则271bab的最小值为（）A．1B．73C．679D．2【对点训练32】（2023·全国·高三专题练习）若1x满足25xx，2x满足2log5xx，则12xx等于（）A．2B．3C．4D．5【对点训练33】（2023·全国·高三专题练习）已知1x是方程32xx的根，2x是方程3log2xx的根，则12xx的值为（）A．2B．3C．6D．101．（2022·天津·统考高考真题）化简48392log3log3log2log2的值为（）A．1B．2C．4D．62．（2022·浙江·统考高考真题）已知825,log3ab，则34ab（）A．25B．5C．259D．533．（2021·天津·统考高考真题）若2510ab，则11ab（）A．1B．lg7C．1D．7log10