第05讲 对数与对数函数（练习）（解析版）

第05讲对数与对数函数（模拟精练+真题演练）1．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）“0x”是“ln10x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】ln10x的解集是{10},ln100xxxx∣，反之不成立.所以“0x”是“ln10x”的必要不充分条件．故选：B2．（2023·安徽·校联考模拟预测）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为1()logbbnPnn，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若2022102log21log3()1log5nkPn（*kN，20k），则k的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】依题意，得2010101010122121()()(1)(20)lglglglg120nkkkPnPkPkPkkk，又22222log21log3log7lg71log5log10，故3k．故选：B．3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知2log3a，5log3b，有以下命题：①2abab；②2abab；③abab；④abab．其中正确命题的序号是（）A．②③B．①③C．①④D．②④【答案】B【解析】因为22log3log10a，55log3log10b，所以31log20a，31log50b，所以33311log2log5log102ab，即：112ab所以2abab，故①正确，②错误；又因为33log5log2，所以11ba，所以33331150log5log2loglog312ba，即：1101ba，所以abab，故③正确，④错误．故选：B.4．（2023·河北石家庄·统考三模）18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当n很大时，1111ln23nn（常数0.577）.利用以上公式，可以估计111200012000230000的值为（）A．4ln10B．ln3ln2C．ln3ln2D．ln2【答案】C【解析】由题意1111ln3000233000,1111ln2000232000所以111ln3000ln20003ln3(3ln2)ln3ln2200012000230000,故选：C．5．（2023·山西阳泉·统考三模）函数22logfxxxm在区间1,2存在零点．则实数m的取值范围是（）A．,5B．5,1C．1,5D．5,【答案】B【解析】由12logyx在0,上单调递增，22yxm在0,上单调递增，得函数22logfxxxm在区间0,上单调递增，因为函数22logfxxxm在区间1,2存在零点，所以1020ff，即2222log110log220mm，解得51m，所以实数m的取值范围是5,1.故选：B.6．（2023·安徽黄山·统考三模）“1a”是“函数2log11fxax在区间1,+上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】令11uax，2logyu，若2log11fxax在1,+上单调递增，因为2logyu是1,+上的增函数，则需使11uax是1,+上的增函数且0u，则10a且110a，解得0a.因为,0⫋,1，故1a是0a的必要不充分条件，故选：C.7．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数2log44xfxx，若方程fxb有解，则实数b的取值范围是（）A．2,log5B．2,log5C．2,D．,2【答案】C【解析】222log44log2log44xxxfxx2log242xx24log(2)2xx2log42（当且仅当422xx，也即1x时取等号）∴2b，故选：C.8．（2023·天津滨海新·统考三模）已知1a，1b，3ab，则lg3log10ba的最小值为（）A．4B．6C．8D．10【答案】B【解析】由1b知log100b,结合3ab，以及换底公式可知，lg3log10ba=lg3log10ba3log=3log10log10bbbb33log10log10bb323log106log10bb，当且仅当，33log10log10bb，即log101b时等号成立，即10b时等号成立，故lg3log10ba的最小值为6，故选：B.9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列运算中正确的是（）A．373log7log4log4B．lg21ln(lne)210C．当0a时，11336aaaD．若114aa，则212123aa【答案】BC【解析】334log7loglog47，A错；lg2lg21ln(lne)10ln120210，B正确；当0a时，1131133333262aaaaaa，C正确；114aa时，112122()216aaaa，所以11224aa，D错．故选：BC．10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知25abm，现有下面四个命题中正确的是（）A．若ab，则1mB．若10m，则111abC．若ab，则10mD．若10m，则111+2ab【答案】AB【解析】当ab时，由25abm，可得2()15a，则0a，此时1m，所以A正确；当10m时，由25abm，可得25log10,log10ab，则11lg2lg51ab，所以B正确.故选：AB.11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数logagxxk（0a且1a）的图象如下所示．函数1xxfxkaa的图象上有两个不同的点11,Axy，22,Bxy，则（）A．1a，2kB．fx在R上是奇函数C．fx在R上是单调递增函数D．当0x时，22fxfx【答案】BCD【解析】对于A，由图像可知，函数logagxxk（0a且1a）在2,上单调递增，所以1a，因为gx经过1,0，所以1log10agk，所以01ak，2k，故A错误.对于B，xxfxaa，定义域R关于原点对称，xxfxaafx，所以fx在R上是奇函数，故B正确.对于C，对于xxfxaa，由题意不妨令1212,,xxxRxR，则121212121212121212111xxxxxxxxxxxxxxxxaaaaafxfxaaaaaaaa，因为1212,,xxxRxR，1a，所以12121210,0,0xxxxxxaaaa，即12fxfx，所以fx在R上是单调递增函数，故C正确.对于D，2222222xxxxxxxxxxxxxxaaaaaaaaaaaaaxfafx22322221111112xxxxxxxxxxxaaaaaaaaaaa，因为1a，0x，所以3210,010,xxxaaa，所以23101xxxaaa，当且仅当0x时等号成立，即当0x时，22fxfx成立，故D正确.故选：BCD12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e2xfxx的零点为a，函数ln2gxxx的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．eln2abB．eln2abC．2abD．1ab【答案】BC【解析】令0fx、0gx，则e2xx、ln2xx，在同一坐标系中分别绘出函数exy、lnyx、2yx的图像，因为函数e2xfxx的零点为a，函数ln2gxxx的零点为b，所以,eaAa，,lnBbb，解方程组211yxxyxy，因为函数exy与lnyx互为反函数，所以由反函数性质知,eaAa、,lnBbb关于1,1对称，则2ab，eln2ab，所以214abab，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以A、D错误，B、C正确.故选：BC13．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设fx定义在R上且2log2,212,2xxfxfxfxx，则13f______．【答案】0【解析】因为2log2,212,2xxfxfxfxx，所以13121111101110fffffff，10988787fffffff，同理可得21371log210fff.故答案为：014．（2023·全国·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()fx______．①1212())((1()(1)1)fxxfxfx；②当(,1)x时，()0fx（()fx为()fx的导函数）；③函数()fx的图象关于点(1,0)对称．【答案】ln|1|x（答案不唯一）【解析】因为121212log(1)(1)11|log(1||1|)log1|log|1||||aaaaxxxxxx，0,1aa，因此()log|1|(0,1)afxxaa满足性质①；若()log|1|(0,1)afxxaa，则当(,1)x时，()log(1)afxx，则1()(1)lnfxxa，当1a时，ln0a，有()0fx，因此()log|1|(1)afxxa满足性质②；当(1,)x时，()log(1)afxx，则1()(1)lnfxxa，当(,1)x时，21x，有11()(2)0(1)ln(21)lnfxfxxaxa，当(1,)x时，21x，有11()(2)0(1)ln[1(2)]lnfxfxxaxa，于是(,1)(1,)x，()(2)0fxfx，即函数()fx的图象关于点(1,0)对称，因此函数()log|1|(1)afxxa满足性质③，所以具有性质①②③的函数可以为()ln|1|fxx．故答案为：ln|1|x15．（2023·天津和平·统考二模）设,xyR，1a，1b，若3xyab，318ab，则11xy的最大值为__________．【答案】3【解析】因为3xyab，