第06讲 函数的图象（六大题型）（讲义）（原卷版）

第06讲函数的图象目录考点要求考题统计考情分析（1）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.（2）会画简单的函数图象.（3）会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.2022年天津卷第3题，5分2022年全国乙卷第8题，5分2022年全国甲卷第5题，5分基本初等函数的图像是高考中的重要考点之一，是研究函数性质的重要工具．高考中总以一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等的图像为基础来考查函数图像，往往结合函数性质一并考查，考查的内容主要有知式选图、知图选式、图像变换以及灵活地应用图像判断方程解的个数，属于每年必考内容之一．一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数．二、函数图像作法1、直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）．2、图像的变换（1）平移变换①函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；②函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿x轴向右平移a个单位得到的；③函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿y轴向上平移a个单位得到的；④函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿y轴向下平移a个单位得到的；（2）对称变换①函数()yfx与函数()yfx的图像关于y轴对称；函数()yfx与函数的图像关于x轴对称；函数()yfx与函数()yfx的图像关于坐标原点(0,0)对称；②若函数()fx的图像关于直线xa对称，则对定义域内的任意x都有()()faxfax或()(2)fxfax（实质上是图像上关于直线xa对称的两点连线的中点横坐标为a，即()()2axaxa为常数）；若函数()fx的图像关于点(,)ab对称，则对定义域内的任意x都有()2(2)()2()fxbfaxfaxbfax或③()yfx的图像是将函数()fx的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分关于x轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示④()yfx的图像是将函数()fx的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y轴对称得到函数()yfx左边的图像即函数()yfx是一个偶函数（如图（c）所示）．注：()fx的图像先保留()fx原来在x轴上方的图像，做出x轴下方的图像关于x轴对称图形，然后擦去x轴下方的图像得到；而()fx的图像是先保留()fx在y轴右方的图像，擦去y轴左方的图像，然后做出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．⑤函数1()yfx与()yfx的图像关于yx对称．（3）伸缩变换①()(0)yAfxA的图像，可将()yfx的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A或缩短(01)A到原来的A倍得到．②()(0)yfx的图像，可将()yfx的图像上的每一点的横坐标伸长(01)或缩短(1)到原来的1倍得到．【解题方法总结】（1）若)()(xmfxmf恒成立，则)(xfy的图像关于直线mx对称．（2）设函数)(xfy定义在实数集上，则函数)(mxfy与)(xmfy)0(m的图象关于直线mx对称．（3）若)()(xbfxaf，对任意xR恒成立，则)(xfy的图象关于直线2bax对称．（4）函数()yfax与函数()yfbx的图象关于直线2abx对称．（5）函数..()yfx..与函数(2)yfax的图象关于直线xa对称．（6）函数()yfx与函数2(2)ybfax的图象关于点()ab，中心对称．（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．题型一：由解析式选图（识图）【例1】（2023·山东烟台·统考二模）函数(sinsin2)yxxx的部分图象大致为（）A．B．C．D．【对点训练1】（2023·重庆·统考模拟预测）函数221(2)ln2yxx的图像是（）A．B．C．D．【对点训练2】（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）函数21sin241fxxx的部分图象大致是（）A．B．C．D．【对点训练3】（2023·全国·模拟预测）函数23cos22xxxfx的大致图像为（）A．B．C．D．【解题方法总结】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型二：由图象选表达式【例2】（2023·四川遂宁·统考二模）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A．11sinsin2sin323yxxxB．11sinsin2sin323yxxxC．11sincos2cos323yxxxD．11coscos2cos323yxxx【对点训练4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数()fx在22,上的图像如图所示，则()fx的解析式可能是（）A．2()2exfxB．2()||2fxxxC．2||()2exfxxD．2()ln2||21fxxx【对点训练5】（2023·河北·统考模拟预测）已知函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（）A．cosπ1fxxxB．1cosπfxxxC．1πsinfxxxD．3221fxxxx【对点训练6】（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知函数fx在4,4上的大致图象如下所示，则fx的解析式可能为（）A．π31cos42xxfxB．21610xxfxC．4fxxxD．πsin4xfxx【解题方法总结】1、从定义域值域判断图像位置；2、从奇偶性判断对称性；3、从周期性判断循环往复；4、从单调性判断变化趋势；5、从特征点排除错误选项．题型三：表达式含参数的图象问题【例3】（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数logayx，10ayax，且1a的图象可能是（）A．B．C．D．【对点训练7】（2023·山东滨州·统考二模）函数23cosxfxaxbxc的图象如图所示，则（）A．0a，0b，0cB．a0，0b，0cC．a0，0b，0c=D．0a，0b，0c【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数logayxb（a，b为常数，其中0a且1a）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．0.5a，2bB．2a，2bC．0.5a，0.5bD．2a，0.5b【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）若函数22fxaxbxc的部分图象如图所示，则5f（）A．13B．23C．16D．112【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数11,log(02axyyxaa且1)a的图象可能是A．B．C．D．【对点训练11】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数ln0sinaxxfxax„在[2π,2π]上的大致图像可能为（）A．B．C．D．【解题方法总结】根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用．题型四：函数图象应用题【例4】（2023·北京·高三专题练习）高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数vfh的大致图像是A．B．C．D．【对点训练12】（2023·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度Vx（单位：米/分钟）与时间x（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”vx为无人机在时间段0,x内的最大速度与最小速度的差，则vx的图像为（）A．B．C．D．【对点训练13】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度y与时间x的函数图像大致是（）A．B．C．D．【对点训练14】（2023·全国·高三专题练习）列车从A地出发直达500km外的B地，途中要经过离A地300km的C地，假设列车匀速前进，5h后从A地到达B地，则列车与C地距离y（单位：km)与行驶时间t（单位：h）的函数图象为（）A．B．C．D．【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【对点训练16】（2023·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解题方法总结】（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．题型五：函数图象的变换【例5】（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知图1对应的函数为yfx，则图2对应的函数是（）A．(||)yfxB．yfxC．||yfxD．yfx【对点训练17】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（）A．(21)yfxB．412xyfC．(12)yfxD．142xyf【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）已知函数210,01,xxfxxx，则下列图象错误的是（）A．B．C．D．【对点训练19】（2023·全国·高三专题练习）函数()ln(1)fxx向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为()A．B．C．D．【解题方法总结】熟悉函数三种变换：（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.题型六：函数图像的综合应用【例6】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）若关于x的方程exax恰有两个不同的实数解，则实数a__________.【对点训练20】（2023·天津和平·统考三模）已知函数xafxxaxa，若关于x的方程2ffx恰有三个不相等的实数解，则实数a的取值集合为___________.【对点训练21】（2023·河南·校联考模拟预测）定义在R上的函数fx满足12fxfx，且当0,1x时，121fxx．若对任意,xt，都有2fx，则t的取值范围是__________．【对点训练22】（2023·四川绵阳·统考二模）若函数2ln,0(),0xxfxxx，gxfxfx，则函数gx的零点个数为______．【解题方法总结】1、利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数．2、利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意