第07讲 函数与方程（十一大题型）（讲义）（原卷版）

第07讲函数与方程目录考点要求考题统计考情分析（1）理解函数的零点与方程的解的联系.（2）理解函数零点存在定理，并能简单应用.（3）了解用二分法求方程的近似解．2022年天津卷第15题，5分2021年天津卷第9题，5分2021年北京卷第15题，5分从近几年高考命题来看，高考对函数与方程也经常以不同的方式进行考查，比如：函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题，以选择题、填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活、深刻，值得广大师生关注．一、函数的零点对于函数yfx，我们把使0fx的实数x叫做函数yfx的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程0fx有实数根函数yfx的图像与x轴有公共点函数yfx有零点.三、零点存在性定理如果函数yfx在区间,ab上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0fafb，那么函数yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得0,fcc也就是方程0fx的根.四、二分法对于区间,ab上连续不断且0fafb的函数fx，通过不断地把函数fx的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程0fx的近似解就是求函数fx零点的近似值.五、用二分法求函数fx零点近似值的步骤（1）确定区间,ab，验证0fafb，给定精度.（2）求区间,ab的中点1x.（3）计算1fx.若10,fx则1x就是函数fx的零点；若10fafx，则令1bx（此时零点01,xax）.若10fbfx，则令1ax（此时零点01,xxb）（4）判断是否达到精确度，即若ab，则函数零点的近似值为a（或b）；否则重复第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.【解题方法总结】函数的零点相关技巧:①若连续不断的函数)(xf在定义域上是单调函数，则)(xf至多有一个零点.②连续不断的函数)(xf，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.③连续不断的函数)(xf通过零点时，函数值不一定变号.④连续不断的函数)(xf在闭区间][ba，上有零点，不一定能推出0)()(bfaf.【典例例题】题型一：求函数的零点或零点所在区间【例1】（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数()hx是奇函数，且()()2fxhx，若2x是函数()yfx的一个零点，则(2)f（）A．4B．0C．2D．4【对点训练1】（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知0x是函数()tan2fxx的一个零点，则0sin2x的值为（）A．45B．35-C．35D．45【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数222,log,log2xfxxgxxxhxx的零点依次为,,abc，则（）A．abcB．cbaC．cabD．bac【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）已知eln2xfxx，若0x是方程efxfx的一个解，则0x可能存在的区间是（）A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4【解题总结】求函数xf零点的方法：（1）代数法，即求方程0xf的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数xfy的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围【例2】（2023·山西阳泉·统考三模）函数22logfxxxm在区间1,2存在零点．则实数m的取值范围是（）A．,5B．5,1C．1,5D．5,【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）函数3()2xfxax的一个零点在区间1,3内，则实数a的取值范围是（）A．7,B．,1C．,17,D．1,7【对点训练5】（2023·河北·高三学业考试）已知函数2()21xfxa是R上的奇函数，若函数(2)yfxm的零点在区间11，内，则m的取值范围是（）A．11(,)22B．(11)，C．(2,2)D．01，【对点训练6】（2023·浙江绍兴·统考二模）已知函数2lnfxxaxb，若fx在区间2,3上有零点，则ab的最大值为__________.【对点训练7】（2023·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数()sinsinfxaxax在(0,2π)上有零点，则实数a的取值范围___________.【解题总结】本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题【例3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数x，y满足ln212yy，e5xx，则2xy________.【对点训练8】（2023·新疆·校联考二模）已知函数3234fxaxx，若fx存在唯一的零点0x，且00x，则a的取值范围是________．【对点训练9】（2023·天津滨海新·统考三模）已知函数24,0()11,0xxaxfxaxx，若函数1gxfxax在R上恰有三个不同的零点，则a的取值范围是________．【对点训练10】（2023·江苏·校联考模拟预测）若曲线lnyxx有两条过e,a的切线，则a的范围是______.【对点训练11】（2023·天津北辰·统考三模）设Ra，对任意实数x，记2mine2,ee24xxxfxaa．若fx有三个零点，则实数a的取值范围是________．【对点训练12】（2023·广东·统考模拟预测）已知实数m，n满足202323ln22020eelnln2e02mmnn，则mn___________.【解题总结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.题型四：嵌套函数的零点问题【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数21,02211,0xxxfxxx，若关于x的方程2210fxkxfxkx有且只有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围为（）A．10,2B．1,11,22C．0,11,2UD．2,【对点训练13】（2023·全国·高三专题练习）已知函数221xfx，则关于x的方程20fxmfxn有7个不同实数解，则实数,mn满足（）A．0m且0nB．0m且0nC．01m且0nD．10m且0n【对点训练14】（2023·四川资阳·高三统考期末）定义在R上函数fx，若函数1yfx关于点1,0对称，且21,0,1,e2,1,,xxxfxx则关于x的方程221fxmfx(mR)有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为A．2B．4C．2或4D．2或4或6【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)xfxxxe，设关于x的方程25()()()fxmfxmRe有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6【解题总结】1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．题型五：函数的对称问题【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数211fx2xx2x2的图象上存在点P，函数g（x）=ax-3的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是（）A．4,0B．50,8C．0,4D．5,48【对点训练16】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()xfxe，函数()gx与()fx的图象关于直线yx对称，若()()hxgxkx无零点，则实数k的取值范围是（）A．21e,eB．1,eeC．(e,)D．1,e【对点训练17】（2023·全国·高三专题练习）已知函数12ln,(e)eyaxx的图象上存在点M，函数21yx的图象上存在点N，且M，N关于x轴对称，则a的取值范围是（）A．21e,2B．213,eC．213,2eD．2211e,3e【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2gxax（1xee，e为自然对数的底数）与2lnhxx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．211,2eB．21,2eC．2212,2eeD．22,e【解题总结】转化为零点问题题型六：函数的零点问题之分段分析法模型【例6】（2023·浙江宁波·高三统考期末）若函数322ln()xexmxxfxx至少存在一个零点，则m的取值范围为（）A．21,eeB．21,eeC．1,eeD．1,ee【对点训练19】（2023·湖北·高三校联考期中）设函数32()2lnfxxexmxx，记()()fxgxx，若函数gx至少存在一个零点，则实数m的取值范围是A．21,eeB．210,eeC．210,eeD．21,ee【对点训练20】（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个x，使得方程2ln(2)xmxxxex成立．则实数m的取值范围为A．21meeB．21meeC．1meeD．1mee【对点训练21】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数22xxfxxxae（其中e为自然对数的底数），若函数fx至少存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．1(0,1]eB．1(0,]eeC．1[,)eeD．1(,1]e【解题总结】分类讨论数学思想方法题型七：唯一零点求值问题【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数222eexxfxxa有唯一零点，则实数a（）A．1B．1C．2D．2【对点训练22】（2023·全国·高三专题练习）已知函数π4π4sincosxxfxeeaxx有唯一零点，则a（）A．πeB．4πeC．2D．1【对点训练23】（2023·全国·高三专题练习）已知函数gx，hx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且sinxgxhexxx，若函数20202320202xfgxx有唯一零点，则实数的值为A．1或12B．1或12C．1或2D．2或1【对点训练24】（2023·全国·高三专题练习）已知函数222212e222xxxfxaa有唯一零点，则负实数aA．2B．12C．1D．12或1【解题总结】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，