第08讲 函数模型及其应用（练习）（解析版）

第08讲函数模型及其应用（模拟精练+真题演练）1．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为10qKP和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为SWNq计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位：L/min·m2），水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量.当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为14m2，保护对象的设计喷雾强度W为20L/min·m2时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（）（参考数据：3.51.87）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】C【解析】由水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，得1024.963.5qKP，再由保护对象的保护面积S为14m2，保护对象的设计喷雾强度W为20L/min·m2，得14201420624.961.8724.963.5SWNq，即保护对象的水雾喷头的数量N约为6个.故选：C.2．（2023·浙江·校联考二模）提丢斯一波得定则，简称“波得定律”，是表示各行星与太阳平均距离的一种经验规则.它是在1766年德国的一位中学教师戴维·提丢斯发现的.后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个如下经验公式来表示：记太阳到地球的平均距离为1，若某行星的编号为n，则该行星到太阳的平均距离表示为12nab，那么编号为9的行星用该公式推得的平均距离位于（）行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星编号12345678公式推得值0.711.62.85.21019.638.8实测值0.7211.522.95.29.5419.1830.06A．30,50B．50,60C．60,70D．70,80【答案】D【解析】由表格可得09110.420.7277.270,800.321aababbab，故选：D3．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是1，环境温度是0，则经过mint物体的温度将满足010ekt，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有90C的物体，若放在10C的空气中冷却，经过10min物体的温度为50C，则若使物体的温度为20C，需要冷却（）A．17.5minB．25.5minC．30minD．32.5min【答案】C【解析】由题意得190，010，50，10t代入，105010(9010)ek，即101e2k，所以1ln210k，所以ln210010()te，由题意得190，010，20代入，即ln2102010(9010)et，得ln2101e8t，即1ln2ln3ln2108t，解得30t，即若使物体的温度为20C，需要冷却30min，故选：C．4．（2023·福建福州·统考模拟预测）为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于贷款人的年收入x（单位：万元）的Logistic，模型：0.96800.96801kxkxPxee，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（）（精确到0.01万元，参考数据：ln31.0986，ln20.6931）A．4.65万元B．5.63万元C．6.40万元D．10.00万元【答案】A【解析】由题意0.968080.96808e1(8)50%1e2kkP，0.968081ke即0.968080k，得0.121k，所以0.96800.1210.96800.121e()1exxPx.令0.96800.1210.96800.121e2()40%1e5xxPx，得0.96800.1210.96800.121521xxee，得0.96800.12123xe，得20.96800.121ln3x得ln2ln30.96804.650.121x.故选：A.5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为32.25g/m，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.21g/m，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量nr满足函数模型0.25*0103,ntnrrrrtnRN，其中0r为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，1r为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过30.25g/m时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（）（参考数据：lg20.30，lg30.48）A．14次B．15次C．16次D．17次【答案】C【解析】依题意，02.25r，12.21r，当1n时，0.2510103trrrr，即0.2531t，可得0.25t，于是0.25(1)2.250.043nnr，由0.25nr，得0.25(1)350n，即lg500.25(1)lg3n，则4(2lg2)115.17lg3n，又*nN，因此16n，所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次．故选：C6．（2023·江西·校联考二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x（1,2,3,4x）与其对应等级的市场销售单价(y单位：元/千克)近似满足函数关系式eaxby.若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近（）（参考数据：321.26，341.59）A．30.24元/千克B．33.84元/千克C．38.16元/千克D．42.64元/千克【答案】C【解析】由题可知433ee2,e2eabaaab，由e24,ab则3223eee24e24438.16abaaba.故选：C.7．（2023·重庆·统考模拟预测）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑30.08mg/m，二类建筑30.1mg/m．二类建筑室内甲醛浓度小于等于30.1mg/m为安全范围，已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为32.25mg/m，4周后室内甲醛浓度为30.36mg/m，且室内甲醛浓度()t（单位：3mg/m）与竣工后保持良好通风的时间ttN（单位：周）近似满足函数关系式()eatbt，则该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（）A．5周B．6周C．7周D．8周【答案】B【解析】由题意可得：22242eee2.25eee0.36abababab，解得e0.4e14.0625ab，所以ee14.062)0.(54etabatbtt，令14.06250.4()0.1tt，整理得0.10.40.007114.0625t，因为560.40.010240.0071,0.40.0040960.0071，故0.40.0071t，则6t，所以至少需要放置6周.故选：B.8．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数x与每平米平均建筑成本y（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用y和楼层数x的回归方程类型的是（）A．yabxB．exyabC．byaxD．2yabx【答案】C【解析】观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类型是反比例类型，故C正确.故选：C.9．（多选题）（2023·辽宁大连·统考三模）甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型：0000eeee22eeee22                                                xxxxxxxxXYbxtaYXaytbxabt其中正实数00,XY分别为甲､乙两方初始实力，t为比赛时间；,xtyt分别为甲､乙两方t时刻的实力；正实数,ab分别为甲对乙､乙对甲的比赛效果系数.规定当甲､乙两方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为T.则下列结论正确的是（）A．若00XY且ab，则0xtyttTB．若00XY且ab，则00001lnXYTaXYC．若00XbYa，则甲比赛胜利D．若00XbYa，则甲比赛胜利【答案】ABD【解析】对选项A：若00XY且ab，则0000eeee22eeee22atatatatatatatatxtXYytYX，所以00eatxtytXY，由00XY可得000eatxtytXY，正确；对选项B：当ab时根据A中的结论可知xtyt，所以乙方实力先为0，即00eeee220atatatatyYXt，化简可得0000eeatatXYXY，即20000eatXYXY，两边同时取对数可得00002lnXYatXY，即0000000011lnln2XYXYtaXYaXY，即00001lnXYTaXY，正确；对选项C：，若甲方获得比赛胜利，则甲方可比赛时间大于乙方即可，设甲方实力为0时所用时间为1t，乙方实力为0时所用时间为2t，即1111100eeee022atatatatbxtXYa，可得100200e0abtbXYabYXa，同理可得200200e0abtaYXbaXYb，即00000000baXYYXabbaYXXYab，解得2020XbYa，又因为00,,,YabX都为正实数，所以可得00XbYa，甲方获得比赛胜利，错误；对选项D：根据C知正确；故答案为：ABD.10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（）A．野生水葫芦的面积每月增长量相等B．野生水葫芦从29m蔓延到236m历时超过1个月C．设野生水葫芦蔓延到29m，220m，240m所需的时间分别为1t，2t，3t，则有1322tttD．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均