第二章 函数与基本初等函数（测试）（解析版）

第二章函数与基本初等函数时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·贵州·高三校联考期中）若0.3log0.4a，0.31.2b，2.1log0.9c，则（）A．abcB．bcaC．acbD．bac【答案】D【解析】因为00.31,所以0.3=logyx为减函数，所以0.30.30.3log1log0.4log0.3，即01a.因为1.21,所以=1.2xy为增函数，所以0301.21.2．，即1b.因为2.11,所以2.1=logyx为增函数，所以2.12.1log0.9log1，即0c，所以bac＞．故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）设函数2log,02,0xxxfxax有且只有一个零点的充分条件是（）A．0aB．102aC．112aD．1a【答案】A【解析】因为函数fx恒过点1,0，所以函数fx有且只有一个零点函数20xyax没有零点函数20xyx的图像与直线ya无交点，数形结合可得，0a或1a即函数fx有且只有一个零点的充要条件是0a或1a,只有选项A是函数有且只有一个零点的充分条件,故选：A3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若23mnk且112mn，则k（）A．5B．6C．5D．6【答案】B【解析】因为23mnk且112mn，所以，0m且0n，所以，0k且1k，且有2logmk，3lognk，所以，1log2km，1log3kn，所以，11log2log3log62kkkmn，则26k，又因为0k且1k，解得6k.故选：B.4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）基本再生数0R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：ertIt（其中e2.71828是自然对数的底数）描述累计感染病例数It随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与0R，T近似满足01RrT.有学者基于已有数据估计出03.28R，6T，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（参考数据：ln20.69，ln31.1）A．1.2天B．1.8天C．2.9天D．3.6天【答案】B【解析】把03.28R，6T代入01RrT，可得013.2810.386RrT，0.38etIt，当0t时，01I，则0.38e2t，两边取对数得0.38ln2t，解得ln21.80.38t．故选：B.5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数()fx的部分图像如图所示，则()fx的解析式可能为（）A．()cosπfxxxB．()(1)sinπfxxxC．()cosπ(1)fxxxD．1fxxcosx【答案】B【解析】由图像可知(0)0f，而D选项中(0)1f，∴排除D选项；又图像不关于原点对称，∴()fx不是奇函数，若()cosπfxxx，函数定义域为R，()cosπcosπ()fxxxxxfx，()fx为奇函数，排除A选项；()cosπ(1)cosπfxxxxx，是奇函数，∴排除C选项.故选：B．6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数223,2()(06log,2axxxfxaxx且1)a，若函数fx的值域是,4，则实数a的取值范围是（）A．2,12B．2,12C．1,2D．1,2【答案】B【解析】当2x时，2223(1)4fxxxx，函数在,1上单调递增，在1,2上单调递减，所以14fxf，即,4fx；若函数()fx的值域是,4，则需当2x时，6log4ax．当1a时，()6logafxx在(2,)上单调递增，此时26log26afxf，不合题意；当01a时，()6logafxx在(2,)上单调递减，此时26log24afxf，即log22a，则2log2logaaa，所以22a，显然0a，解得22a，又01a，所以212a．综上所述，实数a的取值范围是2,12．故选：B7．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知函数fx的定义域为R，且2fxx是奇函数，fxx是偶函数，设函数,0,121,1,fxxgxgxx．若对任意0,,3xmgx恒成立，则实数m的最大值为（）A．133B．174C．92D．134【答案】B【解析】因为2fxx是奇函数，fxx是偶函数，所以22fxxfxxfxxfxx，解得2fxxx，由,0,121,1,fxxgxgxx，当1,2x时，则10,1x，所以2121gxgxfx，同理：当2,3x时，214242gxgxgxfx，以此类推，可以得到gx的图象如下：由此可得，当4,5x时，164gxfx，由3gx，得16453xx，解得174x或194x，又因为对任意的0,xm，3gx恒成立，所以1704m，所以实数m的最大值为174.故选：B.8．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，若32fx为偶函数且12f，则202220232024fff（）A．2B．0C．2D．4【答案】D【解析】因为fx是定义在R上的奇函数，则fxfx，且00f，又32fx为偶函数，则3322fxfx，即(3)()fxfx，于是(3)()fxfx，则(6)(3)()fxfxfx，即fx是以6为周期的周期函数，由12f，得212ff，2022633700fff，20236337112fff，20246337222fff，所以2022202320244fff.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数yfx如下表所示，则下列结论错误的是（）x02x24x46x68xfx1234A．43ffB．fx的值域是{1,2,3,4}C．fx的值域是[1,4]D．fx在区间[4,8]上单调递增【答案】ACD【解析】由表知43f，则432fff，A错误；fx的值域为{1,2,3,4}，B正确，C错误；当46x时，3fx，当68x时，4fx，因此fx在[4,8]上不是单调递增的，D错误．故选：ACD.10．（2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知R，函数23sinfxxx，存在常数aR，使得fxa为偶函数，则的值可能为（）A．6B．4C．3D．2【答案】AD【解析】根据图像变换法则可求得fxa的解析式，利用其为偶函数求出3a，又由三角函数的性质可求得,63kkZ，对k进行赋值，与选项对比即可得出答案.由23sinfxxx，得23sinfxaxaxa，因fxa为偶函数，则3a，所以32k，即,63kkZ当0k时，6；当1k时，2.故选：AD.11．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当0x时，e1xfxx，则（）A．当0x时，e1xfxxB．xR，都有1,1fxC．0fx的解集为1,01,D．fx的单调递增区间是2,0，0,2【答案】BD【解析】对于A，当0x时，0x，则e1xfxx，函数fx在其定义域上是奇函数，则e1xfxfxx，故A错误；对于B，当0x时，e1xfxx，e1ee2xxxfxxx，当0,2x时，()0fx¢，fx单调递增；当2,x时，0fx，fx单调递减，故22max2e21e1fxf，当0,1x时，0ee1x，10x，则0e111xxx；当1,x时，e0x，10x，则e10xx，综上，当0x时，2e11,e1,1xfxx，因为函数fx是奇函数，所以00f，当0x时，1,1fxfx，故B正确；对于C，由B可知，当0,1x时，0ee1x，10x，则0e111xxx；当1,x时，e0x，10x，则e10xx，因为函数fx是奇函数，所以当,1x时，0fx；当1,0x时，0fx，因为函数fx是奇函数，所以00f，综上，不等式0fx，其解集为1,01,，故C错误；对于D，由B可知，当0,2x时，fx单调递增；当2,x时，fx单调递减，因为函数fx是奇函数，所以当,2x时，fx单调递减；当2,0x时，fx单调递增，故D正确.故选：BD.12．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知函数2ln,0,21,0,xxxfxxxx函数2[]1gxfxafxa，则下列结论不正确的是（）A．若1ea，则gx恰有2个零点B．若12a，则gx恰有4个零点C．若gx恰有3个零点，则a的取值范围是0,1D．若gx恰有2个零点，则a的取值范围是1,2,e【答案】ACD【解析】令2[]10gxfxafxa，则10fxafx，解得1fx或fxa.当0x时，ln1fxx.由()0fx¢，得1ex；由0fx，得10ex，则fx在10,e上单调递减，在1,e上单调递增，11eef.221,0fxxxx，当=1x时，fx取最小值，最小值为12f，故fx的大致图象如图所示.由图可知，1fx有且仅有1个实根.当1a时，gx恰有1个零点，故A错误；当12a时，fxa有3个实根，则gx恰有4个零点，故B正确；由gx恰有3个零点，得fxa恰有2个实根，则2a或01a或1ea，则C错误；由gx恰有2个零点，得fxa恰有1个实根，且1a