第02讲 平面向量的数量积及其应用（七大题型）（讲义）（解析版）

第02讲平面向量的数量积及其应用目录考点要求考题统计考情分析（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．（3）了解平面向量基本定理及其意义（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算2023年I卷第3题，5分2023年II卷第13题，5分2023年甲卷（理）第4题，5分2022年II卷第4题，5分平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．知识点一．平面向量的数量积a（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把数量||||cosab叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab=||||cosab，规定：零向量与任一向量的数量积为0．（2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：||cosa叫做向量a在b方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．②ab的几何意义：数量积ab等于a的长度||a与b在a方向上射影||cosb的乘积．③设a，b是两个非零向量，它们的夹角是,e与b是方向相同的单位向量，,ABaCDb，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为11,AB，得到11AB，我们称上述变换为向量a向向量b投影，11AB叫做向量a在向量b上的投影向量．记为||cosae．知识点二．数量积的运算律已知向量a、b、c和实数，则：①abba；②()()()ab=abab；③()abc=acbc．知识点三．数量积的性质设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则①||coseaaea．②0abab．③当a与b同向时，||||abab；当a与b反向时，||||abab．特别地，2||aaa或||aaa．④cos||||abab(||||0)ab．⑤||||||abab≤．知识点四．数量积的坐标运算已知非零向量11()xy，a，22()xy，b，为向量a、b的夹角．结论几何表示坐标表示模||aaa22|xya|数量积||||cosabab1212xxyyab夹角cos||||abab121222221122cosxxyyxyxyab的充要条件0ab12120xxyy∥ab的充要条件0（）abb12210xyxy||ab与||||ab的关系||||||abab（当且仅当ab∥时等号成立）1212||xxyy≤22221122xyxy知识点五、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||abab．（2）当0a时，由0ab不能推出b一定是零向量，这是因为任一与a垂直的非零向量b都有0ab．当0a时，且abac时，也不能推出一定有bc，当b是与a垂直的非零向量，c是另一与a垂直的非零向量时，有0abac，但bc．（3）数量积不满足结合律，即abcbca()()，这是因为abc()是一个与c共线的向量，而bca()是一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以abc()不一定等于bca()，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当0ab且(0)ab（或0ab，且(0))ab【解题方法总结】（1）b在a上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．（2）数量积的运算要注意0a=时，0ab，但0ab时不能得到0a=或0b=，因为ab时，也有0ab．（3）根据平面向量数量积的性质：||aaa，cos||||abab，0abab等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．（4）若a、b、c是实数，则abacbc（0a）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a、b、c满足abac（0a），则不一定有=bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．（5）数量积运算不适合结合律，即()()abcabc，这是由于()abc表示一个与c共线的向量，()abc表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此()abc与()abc不一定相等．题型一：平面向量的数量积运算例1．（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量a，b满足|2|3ab，，且a与b的夹角为π6，则2abab（）A．6B．8C．10D．14【答案】B【解析】`由|2|3ab，，且a与b的夹角为π6，所以2222ababaabbrrrrrrrr222co6sπaabbrrrr2232223382.故选：B.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知6a，3b，向量a在b方向上投影向量是4e，则ab为（）A．12B．8C．-8D．2【答案】A【解析】a在b方向上投影向量为cos4aee，cos4a，cos4312abab.故选：A例3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，12ABAD，G是菱形ABCD内一点，若0GAGBGC，则AGAB（）A．12B．1C．32D．2【答案】A【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，12ABAD，所以1coscos2ABADABADBADBAD，所以120BAD，则ABC为等边三角形，因为0GAGBGC，所以GAGBGC，设点M为BC的中点，则2GAGD，所以GAGD∥，所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，所以213122AM，同理可得点AB，AC的中线过点G，所以点G为ABC的重心，故2333AGAM，在等边ABC中，M为BC的中点，则30BAM，所以331cos1322AGABAGABBAM.故选：A变式1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量,ab，且π,3ab，若()abc，||2c，则ac（）A．1B．12C．2或2D．1或1【答案】D【解析】由题意单位向量,ab，且π,3ab，可知ab与a的夹角为π6，因为abc，所以π3,ac或2π3，故当π3,ac时，1cos1212acacacrrrrrr；当23,πac时，1cos12()12acacacrrrrrr，故选：D.变式2．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量2,2OP绕坐标原点O顺时针旋转75得到1OP，则1OPOP（）A．622B．62C．62D．622【答案】B【解析】因为2,2OP，所以22222OP，因为向量OP绕坐标原点O顺时针旋转75得到1OP，所以向量OP与向量1OP的夹角为75，且12OP，所以11cos7522cos(3045)OPOPOPOP32124()622222.故选：B变式3．（2023·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则ECED（）A．5B．3C．25D．5【答案】B【解析】方法一：以,ABAD为基底向量，可知2,0ABADABADuuuruuuruuuruuur，则11,22ECEBBCABADEDEAADABADuuuruuruuuruuuruuuruuuruuruuuruuuruuur，所以22111143224ECEDABADABADABADuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur；方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则1,0,2,2,0,2ECD，可得1,2,1,2ECEDuuuruuur，所以143ECEDuuuruuur；方法三：由题意可得：5,2EDECCD，在CDE中，由余弦定理可得2225543cos25255DECEDCDECDECE，所以3cos5535ECEDECEDDECuuuruuuruuuruuur.故选：B.变式4．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在ABC中，π3BAC，2ADDB，P为CD上一点，且满足R12APmACABm，若3AC，4AB，则APCD的值为（）.A．3B．1312C．1312D．112【答案】C【解析】∵R12APmACABm，2ADDB，即23ADAB且2133CDCBCA，∴R34APmACADm，又C、P、D共线，有314m，即14m，即1142APACAB，而CBCAAB，∴2122()3333CDCAABCACAABABAC∴APCD=2211211116913()()24233343412ACABABACABABACAC.故选：C变式5．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量a，b满足同向共线，且2b，1abrr，则aba（）A．3B．15C．3或15D．3或15【答案】D【解析】因为向量a，b满足同向共线，所以设(0)ab，又因为1abrr，2b，所以22222(1)(1)4(1)1bbbbrrrr，所以12或32，即12ab=或32ab.①当12ab=时，23133224ababbb；②当32ab时，2531515224ababbb；所以aab的值为3或15.故选：D.变式6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形ABCD中，1,2,ABADAC与BD相交于点O，过点A作AEBD于E，则AEAO（）A．1225B．2425C．125D．45【答案】D【解析】建立如图所示直角坐标系：则(0,1),(0,0),(2,0),(2,1)ABCD，设(,)Exy，则(,1),(,),2,1AExyBExyBDAEBDAEBD且//BEBD，21020xyxy，解得2515xy，481(,),,5212(,),55555AEECE，在矩形ABCD中，O为BD的中点，所以11,2O，由(0,1)A，所以11.2AO，4141+52525AEAO，故选：D.【解题方法总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a在向量b方向上的投影为||abb．（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：222()2abaabb